Estabilidad: método directo de Lyapunov

Vemos un par de ejemplos de aplicación del método directo de Lyapunov.

Enunciado
Analizar la estabilidad del punto de equilibrio $(0,0)$ para los sistemas $$(a)\;\;\left \{ \begin{matrix}x’=-y-x^3\\y’=x-y^3.\end{matrix}\right.\qquad (b)\;\;\left \{ \begin{matrix}x’=-xy^4\\y’=yx^4.\end{matrix}\right.$$ Solución
(a) Hallemos la matriz del sistema linealizado correspondiente:$$\dfrac{{\partial v_1}}{{\partial x}}=-3x^2,\;\dfrac{{\partial v_1}}{{\partial y}}=-1,\;\dfrac{{\partial v_2}}{{\partial x}}=1,\;\dfrac{{\partial v_2}}{{\partial y}}=-3y^2,$$ $$A=v'(0,0)=\begin{bmatrix}{\frac{{\partial v_1}}{{\partial x}}(0.0)}&{\frac{{\partial v_1}}{{\partial y}}(0,0)}\\{\frac{{\partial v_2}}{{\partial x}}(0,0)}&{\frac{{\partial v_2}}{{\partial y}}(0,0)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{-1}\\{1}&{\;\;0}\end{bmatrix}.$$ Los valores propios de $A$ son $\lambda=\pm i$ y por tanto el máximo $\mu$ de la parte real de estos es $0$. El sistema linealizado no proporciona información sobre la estabilidad. La función $f(x,y)=x^2+y^2$ es diferenciable en un entorno del origen (de hecho en todo el plano) y presenta un mínimo estricto en él. Esto implica que $f$ puede ser función de Lyapunov. Hallemos la derivada de $f$ respecto de $v:$ $$L_vf(x,y)=\left<\nabla f(x,y),v(x,y)\right>=\left<(2x,2y),(-y-x^3,x-y^3)\right>=$$ $$-2xy-2x^4+2xy-2y^4=-2(x^4+y^4)<0\;,\;\; \forall (x,y)\neq (0,0)$$ Es decir,  $f$ es función estricta de Lyapunov para el origen, lo cual implica que este punto es asintóticamente estable del sistema dado.

(b) Hallemos la matriz del sistema linealizado correspondiente: $$\dfrac{{\partial v_1}}{{\partial x}}=-y^4,\;\dfrac{{\partial v_1}}{{\partial y}}=-4xy^3,\;\dfrac{{\partial v_2}}{{\partial x}}=4yx^3,\;\dfrac{{\partial v_2}}{{\partial y}}=x^4,$$ $$A=v'(0,0)=\begin{bmatrix}{\frac{{\partial v_1}}{{\partial x}}(0.0)}&{\frac{{\partial v_1}}{{\partial y}}(0,0)}\\{\frac{{\partial v_2}}{{\partial x}}(0,0)}&{\frac{{\partial v_2}}{{\partial y}}(0,0)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}.$$ El único valor propio de $A$ es $\lambda=0$ (doble) y de nuevo,  $\mu=0$. El sistema linealizado no proporciona información sobre la estabilidad. Ensayemos como en el apartado anterior si $f(x,y)=x^2+y^2$ es función de Lyapunov para el origen. La derivada de $f$ respecto de $v$ es: $$L_vf(x,y)=\left<\nabla f(x,y),v(x,y)\right>=\left<(2x,2y),(-xy^4,yx^4)\right>=$$$$-2x^2y^4+2y^2x^4=2x^2y^2(x^2-y^2).$$ En la recta $x=2y$ tenemos $$L_vf(2y,y)=2(4y^2)y^2(3y^2)=24y^6>0\;,\;\;\forall y>0.$$ Como $L_vf$ toma valores positivos en todo entorno perforado del origen,  $f$ no es función de Lyapunov para este punto. Elijamos ahora $g(x,y)=x^4+y^4$ que es diferenciable en un entorno del origen (de hecho en todo el plano) y presenta un mínimo estricto en él. Esto implica que $g$ puede ser función de Lyapunov. Hallemos la derivada de $g$ respecto de $v:$ $$L_vg(x,y)=\left<\nabla g(x,y),v(x,y)\right>=\left<(4x^3,4y^3),(-xy^4,yx^4)\right>=$$ $$-4x^4y^4+4x^4y^4=0\leq 0\;,\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2.$$ Es decir, $g$ es función no estricta de Lyapunov para el origen y podemos por tanto asegurar que es punto  estable para el sistema dado.