Concepto de conjunto

Publicada el febrero 3, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de conjunto.

RESUMEN TEÓRICO
  • El concepto de conjunto es primitivo, y esto quiere decir que no se define. Convenimos en que un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Cada uno de los objetos de la agrupación es un elemento del conjunto.
    Por ejemplo, $A=\left\{{a,e,i,o,u}\right\}$ (conjunto de las letras vocales), y $B=\left\{{1,3,5,7,9,\ldots}\right\}$ (conjunto de los números impares)
  • Si $x$ es un elemento de un conjunto $M$ se escribe $x\in M$, que se lee $x$ elemento de $M$ o bien $x$ pertenece a $M.$ La negación de la relación anterior se escribe $x\not\in M.$
    En los ejemplos anteriores tenemos: $e\in A,\;h\not\in A,\;5\in B,\;8\not\in B.$
  • Los conjuntos se pueden definir por extensión (enumerando sus elementos) o por comprensión (especificando una propiedad que todos sus elementos poseen y sólo ellos).
  • Los conjuntos $A,B$ anteriores se definieron por extensión. También los podemos definir por comprensión:
    $$A=\left\{{x:x \mbox{ es letra vocal}}\right\},\quad B=\left\{{x:x\mbox{ es número impar}}\right\}.$$
  • Decimos que dos conjuntos $A$ y $B$ son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos, es decir, si $x\in A$ entonces $x\in B$ y si $x\in B$ entonces $x\in A.$
    Enunciados
  1. Escribir por extensión $A=\{x:x\mbox{ es raíz de }p(x)=x^2-7x+12\}.$
  2. Escribir por comprensión $B=\{3,4,5,6,7\}.$
  3. Analizar si son iguales los siguientes pares de conjuntos
    ${}\qquad (a)\;$ $A=\{a,2,3\},\quad B=\{3,3,2,a\}.$
    ${}\qquad (b)\;$ $C=\{\mbox{verde, rojo}\},\quad D=\{x:x\mbox{ es color del arco iris}\}.$
  4. Escribir por comprensión los conjuntos $A=\{-1,-3,-5,-7.-9,\ldots\}$ y $B=\{4,8,12,16,20,\ldots\}.$
  5. Definir por extensión el conjunto $S=\{x\in\mathbb{R}:x^3-x^2=0\}$.
  6. Sean $a,b,c,d$ elementos de un conjunto $X.$ Demostrar que $\left\{\{a\},\{a,b\}\right\}=\left\{\{c\},\{c,d\}\right\}$ si y solamente si $a=c$ y $b=d$.
    Soluciones
  1. Hallemos las raíces de la ecuación dada $$x=\frac{7\pm\sqrt{49-48}}{2}=\frac{7\pm 1}{2}\Leftrightarrow x=4\text{ o }x=3.$$ Es decir, $A=\{3,4\}.$
  2. Los elementos de $B$ son los números naturales mayores o iguales que $3$ y menores o iguales que $7$. Por tanto: $$B=\{x:x\text{ es número natural con }3\leq x\leq 7\}.$$
  3. $(a)$ Todo elemento que pertenece a $A$, pertenece a $B$ y todo elemento que pertenece a $B$, pertenece a $A$, lo cual implica que $A=B.$ Nótese que es irrelevante el que se repita la escritura de algún elemento.
    $(b)$ Todo elemento que pertenece a $C$, pertenece a $D$. Sin embargo, no todo elemento que pertenece a $D$ pertenece a $C$ (por ejemplo, el color azul). Concluimos que $C\neq D$.
  4. El conjunto $A$ está formado por los números impares negativos y el $B$ por los múltiplos de $4$ positivos, por tanto: $$A=\{x:x\text{ es entero impar negativo}\},\;B=\{x:x\text{ es múltiplo positivo de 4}\}.$$
  5. Los elementos de $S$ son los números reales que cumplen $x^3-x^2=0$ o de forma equivalente $x^2(x-1)=0$, cuyas soluciones son $x=0$, $x=1$. Por tanto $S=\{0,1\}$.
  6. Tenemos que demostrar $$\left\{\{a\},\{a,b\}\right\}=\left\{\{c\},\{c,d\}\right\}\Leftrightarrow a=c\text{ y }b=d.$$ $\Leftarrow)$ Si $a=b$ y $c=d$, trivialmente $\left\{\{c\},\{c,d\}\right\}=\left\{\{a\},\{a,b\}\right\}$$\Rightarrow)$ Por hipótesis $$\left\{\{a\},\{a,b\}\right\}=\left\{\{c\},\{c,d\}\right\}.\quad (1)$$ Analizamos dos casos:Caso 1: $a\neq b$. En éste caso, $\{a\}\neq \{a,b\}$. Entonces, el conjunto de la derecha en $(1)$ ha de tener dos elementos, lo cual implica que $c\neq d$. Sólo se puede verificar la igualdad $(1)$ si $\{a\}=\{c\}$ y $\{a,b\}=\{c,d\}$, por tanto $a=c$ y $b=d$.
    Caso 2: $a= b$. En éste caso, $\{a\}= \{a,b\}$. Entonces, el conjunto de la derecha en $(1)$ ha de tener un único elemento, es decir ha de ser $\{c\}=\{c,d\}$. Esto último implica que $c=d$.
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