Concepto de relación binaria

Publicada el febrero 3, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de relación binaria y un anexo teórico.

RESUMEN TEÓRICO
  • Sea $A$ un conjunto. Una relación binaria (o simplemente relación) $R$ en $A$ es cualquier subconjunto del producto cartesiano $A\times A.$ Por ejemplo, si $A=\{1,2,a\}$, una relación $R$ en $A$ es $R=\{(1,2),(2,a),(a,2),(a,a))\}.$
  • Sea $R$ una relación en $A.$ Si $(x,y)\in R$ se dice que $x$ está relacionado con $y$, y se escribe $xRy.$ Si $(x,y)\notin R$ se dice que $x$ no está relacionado con $y$, y se escribe $x\not Ry.$ En el ejemplo anterior, $1\not R1,\;1R2,\;1\not R a,\;2\not R 1,\;2\not R 2,\;2Ra,\;a\not R 1,\;aR2,\;aRa.$
  • Sea $R$ una relación en $A.$
    $(a)$ Se dice que $R$ es reflexiva si para todo $x\in A$ se verifica $xRx.$
    $(b)$ Se dice que $R$ es simétrica si para todo $x,y\in A,$ $xRy\Rightarrow yRx$
    $(c)$ Se dice que $R$ es transitiva si para todo $x,y,z\in A$:
    $$\left \{ \begin{matrix} xRy\\yRz\end{matrix}\right.\Rightarrow xRz.$$ $(d)$ Se dice que $R$ es antisimétrica si para todo $x,y\in A$:
    $$\left \{ \begin{matrix} xRy\\yRx\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y.$$
    Enunciado
  1. Analizar si son reflexivas las relaciones en $A=\{a,b,c\}:$ $$R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(b,a)\},\quad S=\{(a,b),(b,b),(c,a)\}.$$
  2. Analizar si son simétricas las relaciones:
    $a)$ En el conjunto de las rectas del plano, $rRs$ $\Leftrightarrow$ $r$ es perpendicular a $s.$
    $b)$ En $\mathbb{Z},$ $xRy\Leftrightarrow x\leq y.$
  3. Analizar si son transitivas las relaciones:
    $a)$ En $\mathbb{Z},$ $xRy\Leftrightarrow x\leq y.$
    $b)$ En $A=\{1,2,3\},$ $R=\{(1,2),(2,3),(1,1)\}.$
  4. Analizar si son antisimétricas las relaciones:
    $a)$ En $\mathbb{Z},$ $xRy\Leftrightarrow x\leq y.$
    $b)$ En $\mathbb{R},$ $xRy\Leftrightarrow\left |x\right|=\left|y\right|.$
  5. En el conjunto $\mathcal{P}(U)$ (partes de $U$), se define la relación $ARB\Leftrightarrow A\subset B.$ Estudiar cuales de las siguientes propiedades cumple: reflexiva, simétrica, transitiva, antisimétrica.
  6. En el conjunto $\mathbb{R}$ se define la relación $xRy\Leftrightarrow \left|x\right|=\left|y\right|.$ Estudiar cuales de las siguientes propiedades cumple: reflexiva, simétrica, transitiva, antisimétrica.
  7. Sea $R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,1),(1,2),(2,3)\}$ una relación definida en $A=\{1,2,3,4\}.$ Estudiar cuales de las siguientes propiedades cumple: reflexiva, simétrica, transitiva, antisimétrica.
    Solución
  1. La relación $R$ es reflexiva pues para todo $x\in A$ se verifica $xRx.$ Sin embargo, la relación $S$ no es reflexiva pues por ejemplo $a\not Ra.$
  2. $a)$ Es simétrica, pues si $r$ es perpendicular a $s$ entonces $s$ es perpendicular a $r.$ Es decir, $rRs.$ implica $sRr.$
    $b)$ No es simétrica, pues por ejemplo $0R1$, pero $1\not R 0.$
  3. $a)$ Es transitiva pues si $xRy$ e $yRz$, entonces $x\leq y$ e $y\leq z$ y por tanto $x\leq z.$ Es decir $xRz.$
    $b)$ No es transitiva pues por ejemplo $1R2,$ $2R3,$ y $1\not R 3.$
  4. $a)$ Es antisimétrica pues si $xRy$ e $yRx$, entonces $x\leq y$ e $y\leq x$ y por tanto $x=y.$
    $b)$ No es antisimétrica, pues por ejemplo $(-1)R1,$ $1R(-1)$ y sin embargo, $-1\neq 1.$
  5. Reflexiva. Se cumple, pues para todo $A\in \mathcal{P}(U)$ se verifica $A\subset A.$
    Simétrica. No se verifica, si $A\subset B$ con $A\neq B$, entonces $B\not\subset A.$
    Transitiva. Se cumple, si $A\subset B$ y $B\subset C$, entonces $A\subset C.$
    Antisimétrica. Se cumple, si $A\subset B$ y $B\subset A$ entonces $A=B.$
  6. Reflexiva. Se cumple, pues para todo $x\in \mathbb{R}$ se verifica $|x|=|x|.$
    Simétrica. Se cumple, pues si $|x|=|y|$ entonces $|y|=|x|.$
    Transitiva. Se cumple, pues si $|x|=|y|$ y $|y|=|z|$ entonces $|x|=|z|.$
    Antisimétrica. No se verifica, por ejemplo $|-1|=|1|$, $|1|=|-1|$ y sin embargo $-1\neq 1.$
  7. Reflexiva. No se verifica, pues $4\not R 4.$
    Simétrica. No se verifica, pues $2R3$ pero $3\not R 2.$
    Transitiva. No se verifica, pues $1R2$ y $2R3$ pero $1\not R 3.$
    Antisimétrica. No se verifica, pues $1R2,$ $2R1$ pero $1\neq 2.$
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