Concepto de sucesión

Publicada el febrero 3, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de sucesión.

RESUMEN TEÓRICO
  • Definición. Se llama sucesión de números reales (o simplemente sucesión si el contexto es claro), a cualquier aplicación del conjunto $\mathbb{N}^*$ de los números naturales positivos en $\mathbb{R}.$ Por ejemplo,
    $$f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{R},\quad f(n)=\frac{1}{n+2},$$ es una sucesión de números reales. A $f(1)$ se le denota por $a_1$ y se le llama primer término de la sucesión, a $f(2)$ se le denota por $a_2$ y se le llama segundo término de la sucesión, etcétera. Al término $a_n=f(n),$ se le llama término enésimo de la sucesión.
  • A las sucesiones se las denota por los símbolos $\{a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots\},$ o bien $\{b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots\},$ etcétera, aunque a veces se suprimen las llaves. La sucesión del ejemplo anterior sería: $$\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\ldots,\frac{1}{n+2},\ldots\right\}\text{ o bien }\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\ldots,\frac{1}{n+2},\ldots.$$ De forma abreviada, a las sucesiones también las denotamos por $\{a_n\},$ $\{b_n\},\ldots$ o incluso más abreviadamente por $a_n,$ $b_n,\ldots$ etcétera. A veces, las sucesiones empiezan por $a_0:$ $\{a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\},$ hecho irrelevante para su estudio.
    Enunciado
  1. Dadas las sucesiones $a_n=(-1)^{n+1}\dfrac{n^2+1}{3n-2}$ y $b_n=\dfrac{\sqrt{n+1}} {7+(-1)^n},$ hallar $a_5$ y $b_{12}.$
  2. Determinar en cada caso una sucesión $a_n$ cuyos prrimeros términos son los que se indican:$(i)$ $\dfrac{2}{-3},\;\dfrac{7}{1},\;\dfrac{12}{5},\;\dfrac{17}{9},\ldots\quad(ii)$ $-\dfrac{3}{7},\;\dfrac{5}{10},\;-\dfrac{7}{13},\;\dfrac{9}{17},\ldots$
  3. Determinar en cada caso una sucesión $a_n$ cuyos primeros términos son los que se indican:$(i)$ $6,\;12,\;24,\;48,\ldots\quad(ii)$ $7,\;-\dfrac{7}{2},\;\dfrac{7}{4},\;-\dfrac{7}{8},\ldots$
  4. Determinar en cada caso una sucesión $a_n$ cuyos primeros términos son los que se indican:
    $(i)$ $1,3,7,15,31,\ldots\quad(ii)\;3,5,9,17,33,\ldots\quad (iii)\;0,1,0,1,0,1,\ldots$
  5. Una sucesión $\{a_n\}$ satisface $a_1=1,$ $a_2=3$ y la relación de recurrencia $a_n-2a_{n-1}+a_{n-2}=0$ para todo $n\geq3.$ Calcular $a_4.$
    Solución
  1. Sustituyendo $n=5$ y $n=12$ en las correspondientes sucesiones: $$a_5=(-1)^{6}\dfrac{5^2+1}{3\cdot 5-2}=\frac{26}{13}=2,\;b_{12}=\dfrac{\sqrt{13}} {7+(-1)^{12}}=\frac{\sqrt{13}}{8}.$$
  2. $(i)$ Los numeradores $2,7,12,17$ forma una progresión aritmética de diferencia $d=5,$ por tanto su término enésimo es $a’_n=2+5(n-1)=5n-3.$ Los denominadores forman una progresión aritmética de diferencia $4,$ por tanto su término enésimo es $a»_n=-3+4(n-1)=4n-7.$ Es decir, $$a_n=\frac{a’_n}{a»_n}=\frac{5n-3}{4n-7}.$$ $(ii)$ Sin considerar el signo, los numeradores $3,5,7,9$ forma una progresión aritmética de diferencia $d=2,$ por tanto su término enésimo es $$a’_n=3+2(n-1)=2n+1.$$ Los denominadores forman una progresión aritmética de diferencia $3,$ por tanto su término enésimo es $$a»_n=7+3(n-1)=3n+4.$$ Para ajustar el signo, multiplicamos por $(-1)^n,$ es decir, $$a_n=(-1)^n\frac{a’_n}{a»_n}=(-1)^n\frac{2n+1}{3n+4}.$$
  3. $(i)$ Los números $6,12,24,48$ forma una progresión geométrica de razón $r=2,$ por tanto su término enésimo es $a_n=6\cdot 2^{n-1}=3\cdot 2^n.$$(ii)$ Los números dados forma una progresión geométrica de razón $r=-1/2,$ por tanto su término enésimo es $a_n=7\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=(-1)^n\dfrac{7}{2^{n}}.$
  4. $(i)$ Tenemos $1=2^1-1,$ $3=2^2-1,$ $7=2^3-1,$ $15=2^4-1,$ $31=2^5-1.$ Por tanto, una sucesión cuyos primeros términos son los indicados es $a_n=2^n-1.$
    $(ii)$ Análogamente, $3=2^1+1,$ $5=2^2+1,$ $9=2^3+1,$ $17=2^4+1,$ $33=2^5+1.$ Es decir, $a_n=2^n+1.$
    $(iii)$ Claramente, una sucesión cuyos primeros términos son los indicados es $$a_n=\dfrac{1+(-1)^n}{2}.$$
  5. Para $n=3,$ tenemos $a_3-2a_2+a_1=0,$ es decir $a_3=2a_2-a_1=6-1=5.$ Para $n=4,$ tenemos $a_4-2a_3+a_2=0,$ es decir $a_4=2a_3-a_2=10-3=7.$
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