Inclusión de conjuntos. Conjunto vacío

Proporcionamos ejercicios sobre inclusión de conjuntos y conjunto vacío.

RESUMEN TEÓRICO

Dados dos conjuntos $A$ y $B$ se dice que $A$ está incluido en $B$ o que $A$ es un subconjunto de $B$ y se escribe $A\subset B$ si todo elemento que pertenece a $A$ también pertenece a $B.$ Es decir $A\subset B\Leftrightarrow (x\in A\Rightarrow x\in B)$. Si $A$ no está incluido en $B$ se escribe $A\not\subset B.$
Por ejemplo, para los conjuntos $\mathbb{N}=\left\{0,1,2,3,\ldots\right\}$ (conjunto de los números naturales) y $\mathbb{Z}=\left\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots\right\}$ (conjunto de los números enteros), se cumple $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}\not\subset\mathbb{N}.$ Es claro que para todo conjunto $A$ se verifica $A\subset A$. La definición que ya vimos de igualdad de conjuntos se puede expresar ahora en la forma: $A=B\Leftrightarrow A \subset B\mbox{ y }B\subset A.$
Al conjunto que no tiene ningún elemento se le llama conjunto vacío y se le representa por $\emptyset.$ Es decir, $\emptyset=\{\;\}.$ Admitiremos que $\emptyset\subset A$ cualquiera que sea el conjunto $A.$
Se llama conjunto unitario a todo conjunto con un único elemento. Por ejemplo, los conjuntos $A=\{c\}$ y $B=\{7\}$ son unitarios.

Enunciados

Se considera el conjunto $A=\{a,b,c\}.$ Escribir todos los subconjuntos de $A.$
Un subconjunto $A$ de $B$ se dice que es propio si existe al menos un elemento de $B$ que no pertenece a $A.$ Escribir todos los subconjuntos propios de $M=\{1,2\}.$
Demostrar que el conjunto vacío es único.
Sea $X$ un conjunto. Al conjunto $\emptyset_X=\{x\in X:x\neq x\}$ se le llama subconjunto vacío de $X$ (y claramente no contiene elemento alguno). Demostrar que para dos conjuntos cualesquiera $X$ e $Y$ se verifica $\emptyset_X=\emptyset_Y.$

Soluciones

El conjunto vacío y $A$ son subconjuntos de $A$. Los subconjuntos de $A$ con un elemento son $\{a\}$, $\{b\}$ y $\{c\}$, y con dos elementos son $\{a,b\}$, $\{a,c\}$ y $\{b,c\}$. Por tanto, todos los subconjuntos de $A$ son: $$\emptyset,\;\{a\},\; \{b\},\;\{c\},\;\{a,b\},\;\{a,c\},\;\{b,c\},\;A.$$
Los subconjuntos de $M$ son $\emptyset$, $\{1\}$, $\{2\}$ y $M=\{1,2\}$. De la definición dada, inmediatamente se deduce que los subconjuntos propios de $M$ son $\emptyset$, $\{1\}$ y $\{2\}$.
Si $\emptyset$ y $\emptyset’$ son conjuntos vacíos, se verifica $\emptyset\subset \emptyset’$ y $\emptyset’\subset \emptyset,$ luego $\emptyset= \emptyset’.$
Recordemos que si $P$ y $Q$ son dos proposiciones, $P\Rightarrow Q$ significa «(no $P$) o $Q$», en consecuencia, $P:x\in \emptyset_X$ (que es falso) implica $Q:x\in \emptyset_Y,$ es decir $\emptyset_X\subset \emptyset_Y.$ De manera análoga, $\emptyset_Y\subset \emptyset_X.$