Partición de un conjunto

Publicada el febrero 3, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre partición de un conjunto.

RESUMEN TEÓRICO
  • Popiedades. Si $R$ es una relación de equivalencia en $A$ y $[a]$ la clase de equivalencia determinada por $a\in A,$ se verifica:
    $(i)$ $a\in [a]$ para todo $a\in A.$
    $(ii)$ $[a]=[b]\Leftrightarrow aRb.$
    $(iii)$ $[a]\neq [b]\Rightarrow [a]\cap [b]=\emptyset.$
  • Sea $\mathcal{A}=\{A_i:i\in I\},$ una colección de subconjuntos de un conjunto $A.$ Se dice que $\mathcal{A}$ es una partición de $A$ si y sólo si:
    1. $A_i\neq \emptyset$ para todo $i\in I.$
    2. $\bigcup_{i\in I} A_i = A.$
    3. $A_i \cap A_j \neq \emptyset \Rightarrow A_i=A_j.$
    Por ejemplo, una partición de $A=\{1,2,3,x,y,c\}$ es $\mathcal{A}=\{A_1,A_2,A_3\}$ siendo $A_1=\{2,x,y\},\;A_2=\{c\},\;A_3=\{1,3\}.$
  • Teorema fundamental de las clases de equivalencia. Si $R$ es una relación de equivalencia en $A,$ el conjunto cociente $A/R$ es una partición de $A.$
    Recíprocamente, toda partición $\mathcal{A}=\{A_i:i\in I\},$ de un conjunto $A$ define una relación de equivalencia $R$ en $A$ cuyo conjunto cociente es exactamente $\mathcal{A}.$
    Enunciado
  1. Escribir todas las particiones del conjunto $A=\{a,b,c\}.$
  2. Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$ y sea $[a]$ la clase de equivalencia determinada por $a\in A.$ Demostrar que:
    $(i)$ Para todo $a\in A$ se verifica $a\in [a].$
    $(ii)$ $[a]=[b]\Leftrightarrow aRb.$
    $(iii)$ $[a]\neq [b]\Rightarrow [a]\cap [b]=\emptyset.$
  3. Demostrar que si $R$ es una relación de equivalencia en $A,$ el conjunto cociente $A/R$ es una partición de $A.$
    Solución
  1. Particiones con tres elementos: $\left \{ \{a\}, \{b\}, \{c\} \right\}$ (una partición).
    Particiones con dos elementos: $\left\{ \{a, b\}, \{c\} \right\},$ $\left\{ \{a, c\}, \{b\}\right\}$ y $\left \{ \{b, c\},\{a\} \right\}$ (tres particiones).
    Particiones con un elemento: $\left\{ \{a, b, c\} \right\}$ (una partición).
  2. $(i)$ Dado que $R$ es reflexiva, $aRa$ para todo $a\in A$ y por tanto $ a\in [a]. $
    $(ii)$ $\Rightarrow)$ Si $[a]=[b],$ entonces $b\in [b]=[a],$ es decir $aRb.$
    $\Leftarrow)$ Si $x\in [a],$ entonces $xRa.$ Pero por hipótesis tenemos $aRb,$ y por la propiedad transitiva se verifica $xRb$, lo cual implica que $x\in [b].$ Hemos demostrado que $[a]\subset [b].$ El contenido $[b]\subset [a]$ se demuestra de manera análoga.
    $(iii)$ Demostremos la implicación por reducción al absurdo. Supongamos que $[a]\cap [b]\neq\emptyset$ y sea $c\in [a]\cap [b].$ Entonces, $cRa$ y $cRb$ y por las propiedades simétrica y transitiva, $aRb.$ Por $(ii)$, deducimos $[a]=[b]$ en contradicción con la hipótesis.
  3. Por la propiedad $(i)$ del ejercicio anterior, toda clase de equivalencia es un subconjunto no vacío de $A,$ y por la $(iii)$ las clases de equivalencia son conjuntos disjuntos dos a dos. Por otra parte, es claro que $A=\bigcup_{a\in A}[a].$ Concluimos que $A/R$ es una partición de $A.$
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