Producto cartesiano

Publicada el febrero 3, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre el producto cartesiano.

RESUMEN TEÓRICO
  • Dados dos conjuntos $A$ y $B,$ se llama producto cartesiano (o simplemente producto) de $A$ por $B$ y se representa por $A\times B,$ al conjunto formado por todos los pares ordenados $(x,y),$ en donde el primer elemento de cada par pertenece a $A$ y el segundo a $B.$
    Por ejemplo, si $A=\left\{1,2\right\}$ y $B=\left\{a,b,c\right\}$ entonces, $$A\times B=\left\{(1,a),(2,a),(1,b),(2,b),(1,c),(2,c)\right\}.$$
  • Propiedades
    1. $A’\subset A,B’\subset B\Rightarrow A’\times B’\subset A\times B.$
    2. $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C).$
    3. $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C).$
  • Dados $n$ conjuntos $A_1,$ $\ldots ,$ $A_n$ se llama producto cartesiano (o simplemente producto) $A_1\times \ldots\times A_n$ al conjunto de todos los conjuntos ordenados $(x_1,x_2,\ldots,x_n),$ en donde $x_1\in A_1,\ldots,x_n\in A_n.$
  • Nota. Convendremos en poner $A\times (B\times C)=(A\times B)\times C,$ lo cual equivale a admitir la propiedad asociativa del producto de conjuntos.
    Enunciado
  1. Dados $A=\left\{a,b\right\}$ y $B=\left\{1,2\right\}$ determinar $A\times B$ y $B\times A.$
  2. Dados $A=\left\{1,2\right\},B=\left\{a\right\},C=\left\{1,3\right\}$ determinar $A\times B\times C.$
  3. Demostrar que $A’\subset A,B’\subset B\Rightarrow A’\times B’\subset A\times B.$
  4. Demostrar que $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C).$
  5. Demostrar que $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C).$
    Solución
  1. De acuerdo con la definición de producto cartesiano: $$A\times B=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)\},\\
    B\times A=\{(1,a),(2,a),(1,b),(2,b)\}.$$
  2. De acuerdo con la definición de producto cartesiano de varios conjuntos $$A\times B\times C=\{(1,a,1),(1,a,3),(2,a,1),(2,a,3)\}.$$
  3. Sea $(a,b)\in A’\times B’$. Por definición de producto cartesiano, $a\in A’$ y $b\in B’$. Como por hipótesis $A’\subset A$ y $B’\subset B$, también $a\in A$ y $b\in B$ lo cual implica que $(a,b)\in A\times B.$
  4. Tenemos las equivalencias: $$(a,b)\in A\times (B\cup C)\Leftrightarrow a\in A\text{ y } b\in B\cup C\Leftrightarrow a\in A\text{ y } (b\in B\text{ o }b\in C)$$ $$\Leftrightarrow (a\in A\text{ y }b\in B)\text{ o }(a\in A\text{ y }b\in C)\Leftrightarrow (a,b)\in A\times B\text{ o }(a,b)\in A\times C$$ $$\Leftrightarrow(a,b)\in (A\times B)\cup (A\times C),$$ lo cual demuestra la igualdad dada.
  5. Tenemos las equivalencias: $$(a,b)\in A\times (B\cap C)\Leftrightarrow a\in A\text{ y } b\in B\cap C\Leftrightarrow a\in A\text{ y } (b\in B\text{ y }b\in C)$$ $$\Leftrightarrow (a\in A\text{ y }b\in B)\text{ y }(a\in A\text{ y }b\in C)\Leftrightarrow (a,b)\in A\times B\text{ y }(a,b)\in A\times C$$ $$\Leftrightarrow(a,b)\in (A\times B)\cap (A\times C),$$ lo cual demuestra la igualdad dada.
Esta entrada ha sido publicada en Álgebra y etiquetada como , . Guarda el enlace permanente.