Unión e intersección de conjuntos

Publicada el febrero 3, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de unión e intersección de conjuntos.

RESUMEN TEÓRICO
  • Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Se llama unión de $A$ y $B$ y se representa por $A\cup B$ al conjunto formado por los elementos que pertenecen a $A$ o a $B$ o a ambos. Se llama intersección de $A$ y $B$ y se representa por $A\cap B$ al conjunto formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a $A$ y a $B.$
  • Por ejemplo, si $A=\left\{1,2,3,4\right\}$ y $B=\left\{2,4,5,6\right\},$ entonces
    $$A\cup B=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}\;,\quad A\cap B=\left\{2,4\right\}.$$
  • Se dice que los conjuntos $A$ y $B$ son disjuntos si $A\cap B=\emptyset,$ es decir si no tienen elementos comunes. Por ejemplo, $A=\left\{2,5,7\right\}$ y $ B=\left\{3,4\right\}$ son conjuntos disjuntos.
    Enunciados
  1. Dados los conjuntos $A=\{a,b,c,7,4\},$ $B=\{b,1,5,c\},$ hallar $A\cup B$ y $A\cap B.$
  2. Demostrar que $M=\{0,2\}$ y $B=\{x:x\in\mathbb{R}\mbox{ con }x^2-1=0 \},$ son conjuntos disjuntos.
  3. Todos los alumnos de una clase que practican natación o atletismo o ambos deportes, practican también tenis, natación o ambos deportes. Los que practican natación y atletismo practican también natación y tenis. ¿ Es cierto que los que practican atletismo también practican tenis?
    Soluciones
  1. De las definiciones de unión e intersección de conjuntos, deducimos inmediatamente que: $A\cup B=\{a,b,c,7,4,1,5\},\;A\cap B=\{b,c\}.$
  2. Dos conjuntos $A$ y $B$ son disjuntos si $A\cap B=\emptyset,$ es decir si no tienen elementos comunes. Los elementos del conjunto $B$ son las soluciones de la ecuación $x^2-1=0$, es decir $B=\{-1,1\}$, luego $M\cap B=\emptyset$. Por tanto, $M$ y $B$ son disjuntos.
  3. Denotemos por $N,A,T$ a los conjuntos de los alumnos de la clase que practica natación, atletismo y tenis respectivamente. La hipótesis todos los alumnos de la clase que practican natación o atletismo o ambos deportes, practican también tenis, natación o ambos deportes equivale a: $$N\cup A\subset T\cup N\quad (1).$$ La hipótesis los que practican natación y atletismo practican también natación y tenis equivale a: $$N\cap A\subset N\cap T\quad (2).$$ El aserto los que practican atletismo también practican tenis equivale a: $$A\subset T\quad (3).$$ Veamos que se verifica $(3)$, o equivalentemente que $x\not\in T\Rightarrow x\not\in A$. Tenemos: $$x\not\in T\Rightarrow x\not\in T\cap N\Rightarrow \text{ (por }(2))\;x\not\in N\cap A.$$ Dado que $x\not\in N\cap A$, o bien ocurre $x\not\in A$ o bien $x\not\in N$ (o ambos).
    Caso 1: $x\not\in A$. Ya estaría demostrado $(3)$.
    Caso 2: $x\not\in N$. En éste caso, $x\not\in T\cup N$ (por hipótesis $x\not\in T$) y por $(1)$, deducimos $x\not\in N\cup A$ lo cual implica que $x\not\in A$ (pues $x\not\in N)$.
    Concluimos pues que los que practican atletismo también practican tenis.
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