Teorema del valor medio de Cauchy

Proporcionamos ejercicios sobre el teorema del valor medio de Cauchy.

Enunciado
1. Comprobar que se verifican las hipótesis del teorema del valor medio de Cauchy para las funciones $f,g:[1,2]\to \mathbb{R}$ definidas por: $$f(x)=x^2+2,\;g(x)=x^3-1.$$ Hallar el $c$ o los $c$ correspondientes.
2. Comprobar que se verifican las hipótesis del teorema del valor medio de Cauchy para las funciones $f,g:[0,\pi/2]\to \mathbb{R}$ definidas por $$f(x)=\textrm{sen}\;x,\;g(x)=\cos x.$$ Hallar el $c$ o los $c$ correspondientes.
3. Demostrar el teorema del valor medio de Cauchy:
   Sean $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ dos funciones tales que:
   $(i)\;f$ y $g$ son continuas en $[a,b].$ $(ii)\;f$ y $g$ son derivables en $(a,b).$ $(iii)\;g'(x)\neq 0$ para todo $x\in (a,b).$ Entonces, existe un $c\in (a,b)$ tal que $$\displaystyle\frac{f'(c)}{g'(c)}=\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$$

Solución
1. $ (i)\;f$ y $g$ son continuas en $[1,2]$ (teorema de continuidad de las funciones elementales).
   $(ii)\;f$ y $g$ son derivables en $(1,2)$ (teorema de derivabilidad de las funciones elementales), siendo sus derivadas $f'(x)=2x$ y $g'(x)=3x^2.$
   $(iii)\;$ Tenemos $g'(x)=0\Leftrightarrow 3x^2=0\Leftrightarrow x=0$, lo cual implica que $g'(x)\neq 0$ para todo $x\in (1,2).$
   Como consecuencia del teorema del valor medio de Cauchy, existe un $c\in (1,2)$ tal que $$\displaystyle\frac{f'(c)}{g'(c)}=\displaystyle\frac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)}.$$ Hallemos $c:$ $$\displaystyle\begin{aligned}
   &\displaystyle\frac{f'(c)}{g'(c)}=\displaystyle\frac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)}\Leftrightarrow \dfrac{2c}{3c^2}=\dfrac{6-3}{7-0}\Leftrightarrow \dfrac{2}{3c}=\dfrac{3}{7}\Leftrightarrow c=14/9.
   \end{aligned}$$ Claramente $c=14/9\in (1,2).$
2. (i) $f$ y $g$ son continuas en $[0,\pi/2]$ (teorema de continuidad de las funciones elementales).
   (ii) $f$ y $g$ son derivables en $(0,\pi/2)$ (teorema de derivabilidad de las funciones elementales), siendo sus derivadas $f'(x)=\cos x$ y $g'(x)=-\textrm{sen}\; x.$
   (iii) En $[0,\pi/2]$ tenemos $g'(x)=0\Leftrightarrow -\textrm{sen}\; x=0\Leftrightarrow x=0$, lo cual implica que $g'(x)\neq 0$ para todo $x\in (0,\pi/2).$
   Como consecuencia del teorema del valor medio de Cauchy, existe un $c\in (0,\pi/2)$ tal que $$\displaystyle\frac{f'(c)}{g'(c)}=\displaystyle\frac{f(\pi/2)-f(0)}{g(\pi/2)-g(0)}.$$ Hallemos $c:$ $$\displaystyle\begin{aligned}
   &\displaystyle\frac{f'(c)}{g'(c)}=\displaystyle\frac{f(\pi/2)-f(0)}{g(\pi/2)-g(0)}\Leftrightarrow \dfrac{\cos c}{-\textrm{sen}\;c}=\dfrac{1-0}{0-1}\Leftrightarrow \cot c=1 \Leftrightarrow c= \pi/4.
   \end{aligned}$$ Claramente $c=\pi/4\in (0,\pi/2).$
3. Veamos que no se puede cumplir $g(a)=g(b).$ En efecto, si fuera $g(a)=g(b)$ se cumplirían para la función $g$ las hipótesis del teorema de Rolle. Como consecuencia, existiría un $c\in (a,b)$ tal que $g'(c)=0$ lo cual es absurdo por la hipótesis $(iii).$Dado que $g(a)\neq g(b)$, podemos definir la función $F:[a,b]\to \mathbb{R}:$ $$F(x)=f(x)-f(b)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(b)).$$ Es fácil verificar que $F$ satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[a,b]$, por tanto existe $c\in (a,b)$ tal que $F'(c)=0.$ Equivalentemente:

   $f'(c)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\;g'(c)=0,$ o bien $\displaystyle\frac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$