Teorema del valor medio de Cauchy

Proporcionamos ejercicios sobre el teorema del valor medio de Cauchy.

RESUMEN TEÓRICO
  • Teorema  (del valor medio de Cauchy).  Sean $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ dos funciones tales que:
    $(i)\;f$ y $g$ son continuas en $[a,b].$
    $(ii)\;f$ y $g$ son derivables en $(a,b).$
    $(iii)\;g'(x)\neq 0$ para todo $x\in (a,b).$
    Entonces, existe un $c\in (a,b)$ tal que $$\displaystyle\frac{f'(c)}{g'(c)}=\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$$
  • Si $g(x)=x$, obtenemos como caso particular el teorema de Lagrange.
    Enunciado
  1. Comprobar que se verifican las hipótesis del teorema del valor medio de Cauchy para las funciones $f,g:[1,2]\to \mathbb{R}$ definidas por: $$f(x)=x^2+2,\;g(x)=x^3-1.$$ Hallar el $c$ o los $c$ correspondientes.
  2. Comprobar que se verifican las hipótesis del teorema del valor medio de Cauchy para las funciones $f,g:[0,\pi/2]\to \mathbb{R}$ definidas por $$f(x)=\textrm{sen}\;x,\;g(x)=\cos x.$$ Hallar el $c$ o los $c$ correspondientes.
  3. Demostrar el teorema del valor medio de Cauchy:
    Sean $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ dos funciones tales que:
    $(i)\;f$ y $g$ son continuas en $[a,b].$ $(ii)\;f$ y $g$ son derivables en $(a,b).$ $(iii)\;g'(x)\neq 0$ para todo $x\in (a,b).$ Entonces, existe un $c\in (a,b)$ tal que $$\displaystyle\frac{f'(c)}{g'(c)}=\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$$
    Solución
  1. $ (i)\;f$ y $g$ son continuas en $[1,2]$ (teorema de continuidad de las funciones elementales).
    $(ii)\;f$ y $g$ son derivables en $(1,2)$ (teorema de derivabilidad de las funciones elementales), siendo sus derivadas $f'(x)=2x$ y $g'(x)=3x^2.$
    $(iii)\;$ Tenemos $g'(x)=0\Leftrightarrow 3x^2=0\Leftrightarrow x=0$, lo cual implica que $g'(x)\neq 0$ para todo $x\in (1,2).$
    Como consecuencia del teorema del valor medio de Cauchy, existe un $c\in (1,2)$ tal que $$\displaystyle\frac{f'(c)}{g'(c)}=\displaystyle\frac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)}.$$ Hallemos $c:$ $$\displaystyle\begin{aligned}
    &\displaystyle\frac{f'(c)}{g'(c)}=\displaystyle\frac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)}\Leftrightarrow \dfrac{2c}{3c^2}=\dfrac{6-3}{7-0}\Leftrightarrow \dfrac{2}{3c}=\dfrac{3}{7}\Leftrightarrow c=14/9.
    \end{aligned}$$ Claramente $c=14/9\in (1,2).$
  2. (i) $f$ y $g$ son continuas en $[0,\pi/2]$ (teorema de continuidad de las funciones elementales).
    (ii) $f$ y $g$ son derivables en $(0,\pi/2)$ (teorema de derivabilidad de las funciones elementales), siendo sus derivadas $f'(x)=\cos x$ y $g'(x)=-\textrm{sen}\; x.$
    (iii) En $[0,\pi/2]$ tenemos $g'(x)=0\Leftrightarrow -\textrm{sen}\; x=0\Leftrightarrow x=0$, lo cual implica que $g'(x)\neq 0$ para todo $x\in (0,\pi/2).$
    Como consecuencia del teorema del valor medio de Cauchy, existe un $c\in (0,\pi/2)$ tal que $$\displaystyle\frac{f'(c)}{g'(c)}=\displaystyle\frac{f(\pi/2)-f(0)}{g(\pi/2)-g(0)}.$$ Hallemos $c:$ $$\displaystyle\begin{aligned}
    &\displaystyle\frac{f'(c)}{g'(c)}=\displaystyle\frac{f(\pi/2)-f(0)}{g(\pi/2)-g(0)}\Leftrightarrow \dfrac{\cos c}{-\textrm{sen}\;c}=\dfrac{1-0}{0-1}\Leftrightarrow \cot c=1 \Leftrightarrow c= \pi/4.
    \end{aligned}$$ Claramente $c=\pi/4\in (0,\pi/2).$
  3. Veamos que no se puede cumplir $g(a)=g(b).$ En efecto, si fuera $g(a)=g(b)$ se cumplirían para la función $g$ las hipótesis del teorema de Rolle. Como consecuencia, existiría un $c\in (a,b)$ tal que $g'(c)=0$ lo cual es absurdo por la hipótesis $(iii).$Dado que $g(a)\neq g(b)$, podemos definir la función $F:[a,b]\to \mathbb{R}:$ $$F(x)=f(x)-f(b)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(b)).$$ Es fácil verificar que $F$ satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[a,b]$, por tanto existe $c\in (a,b)$ tal que $F'(c)=0.$ Equivalentemente:

    $f'(c)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\;g'(c)=0,$ o bien $\displaystyle\frac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$

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