Supremo, ínfimo, maximales y minimales

Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de supremo, ínfimo, maximal y minimal.

Enunciado
1. En $\mathbb{R}$ con el orden usual, determinar $\inf\; (0,1]$ y $\sup\; (0,1].$
2. En $\mathbb{R}$ con el orden usual, determinar $\inf \;(-\infty,2)$ y $\sup\; (-\infty,2).$
3. En $\mathbb{R}$ con el orden $\leq$ usual, calcular: $$\begin{aligned}& 1)\;\sup\{1/x:x\in [1,2]\}. & 2)\;\inf\{1/x:x\in (1,2)\}.\\
   & 3)\;\sup\{1/x:x>0\}. & 4)\;\inf\{1/x:x\in (0,2]\}.
   \end{aligned}$$
4. Dado $U=\{a,b,c\},$ se establece en $\mathcal{P}(U)$ la relación de orden inclusión. Se pide:
   $(a)$ Hallar los elementos maximales de $\mathcal{P}(U)-\{U\}.$
   $(b)$ Hallar los elementos minimales de $\mathcal{P}(U)-\{\emptyset\}.$
5. Demostrar que si un conjunto tiene supremo (ínfimo), entonces es único.
6. Sea $S\subset \mathbb{R}$ un subconjunto acotado de $\mathbb{R}.$ Demostrar que $a=\sup S$ si y sólo si $a\ge x, \, \forall x\in S$ y además $\forall \, \epsilon >0, \, \exists \, x_0\in S$, tal que $x_0>a-\epsilon.$
7. Sea el conjunto $S=\{3,4,5,6,7,8,9,10\}$ con la relación de orden $x\leq y$ $\Leftrightarrow$ $x$ divide a $y.$ Se pide:
   $(a)$ Hallar los elementos maximales y minimales.
   $(b)$ Hallar los subconjuntos de $S$ totalmente ordenados.

Solución
1. El conjunto de las cotas inferiores de $(0,1]$ es $(-\infty,0],$ y el máximo de este último conjunto es $0,$ por tanto $\inf \;(0,1]=0.$ El conjunto de las cotas superiores de $(0,1]$ es $[1,+\infty),$ y el mínimo de este último conjunto es $1,$ por tanto $\sup \;(0,1]=1.$
2. No existen cotas inferiores de $ (-\infty,2),$ por tanto no existe $\inf (-\infty,2).$
   El conjunto de las cotas superiores de $ (-\infty,2)$ es $[2,+\infty),$ y el mínimo de este último conjunto es $2,$ por tanto $\sup \; (-\infty,2)=2.$
3. 1) Cuando $x$ recorre el intervalo $[1,2],$ $1/x$ recorre el $[1/2,1],$ por tanto el extremo superior es $1$ (mínima de las cotas superiores).
   2) Cuando $x$ recorre el intervalo $(1,2),$ $1/x$ recorre el $(1/2,1),$ por tanto el extremo inferior es $1/2$ (máxima de las cotas inferiores).
   3) Cuando $x$ recorre el intervalo $(0,+\infty),$ $1/x$ recorre el $(0,+\infty),$ por tanto no existe extremo superior.
   4) Cuando $x$ recorre el intervalo $(0,2],$ $1/x$ recorre el $[1/2,+\infty),$ por tanto el extremo inferior es $1/2$ (máxima de las cotas inferiores).
4. $(a)$ Tenemos $\mathcal{P}(U)-\{U\}=\left\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}\right\}.$ De acuerdo con la definición, los elementos maximales de $\mathcal{P}(U)-\{U\}$ son: $$\{a,b\},\;\{a,c\},\;\{b,c\}.$$ $(b)$ Tenemos $\mathcal{P}(U)-\{\emptyset\}=\left\{\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},U\right\}.$ De acuerdo con la definición, los elementos minimales elementos de $\mathcal{P}(U)-\{U\}$ son: $$\{a\},\;\{b\},\;\{c\}.$$
5. Sea $A$ un conjunto con una relación de orden $\leq,$ y sea $B\subset A.$ Si existen dos supremos de $B$, $e$ y $e’,$ entonces tanto $e$ como $e’$ son cotas superiores de $B.$ Por ser $e$ la menor de ellas, $e\leq e’$ y por ser $e’$ la menor de ellas, $e’\leq e.$ Por la propiedad antisimétrica, $e=e’.$ Análoga demostración para el ínfimo.
6. Si $a=\sup S,$ $a$ es cota superior de $S$ y por tanto, $a\geq x$ para todo $x\in S.$ Por otra parte, si no ocurriera que $\forall \, \epsilon >0, \, \exists \, x_0\in S$ tal que $x_0>a-\epsilon,$ entonces, existiría un $\epsilon_0>0$ tal que $x\leq a-\epsilon_0$ para todo $x\in S.$ Esto implicaría que $a-\epsilon_0<a$ sería cota superior de $S$ lo cual contradice que $a$ es la menor de las cotas superiores de $S.$
   Recíprocamente, supongamos que $a\ge x, \, \forall x\in S$ y además $\forall \, \epsilon >0, \, \exists \, x_0\in S$, tal que $x_0>a-\epsilon.$ La primera condición implica que $a$ es cota superior de $S.$ Es además la menor de todas ellas. En efecto, si $b<a$ fuera cota superior de $S,$ eligiendo $\epsilon =a-b>0$ existiría $x_0\in S$ tal que $x_0>a-(a-b)=b,$ lo cual contradice que $b$ es cota superior de $A.$
7. $(a)$ Un elemento $M\in S$ es maximal si y sólo si, no existe elemento $x\in S$ con $x\neq M$ tal que $M\leq x.$ Es decir, son los elementos $M$ de $S$ que no tienen múltiplos en $S$ distintos de $M.$ Claramente son los elementos $6,7,8,9$ y $10.$
   Un elemento $m\in S$ es minimal si y sólo si, no existe elemento $x\in S$ con $x\neq m$ tal que $x\leq m.$ Es decir, son los elementos $m$ de $S$ que no tienen divisores en $S$ distintos de $m.$ Claramente son los elementos $3,4,5$ y $7.$
   $(b)$ De acuerdo con la definición de orden total, los subconjuntos de $S$ totalmente ordenados son: $$\{a\}:a\in S,\;\{3,6\},\;\{3,9\},\;\{4,8\},\;\{5,10\}.$$ Es claro que no hay subconjuntos de $S$ con tres elementos totalmente ordenados, lo cual implica que ya hemos escrito todos.