Orden total, buen orden

Proporcionamos ejercicios de orden total y buen orden.

Enunciado
1. En $\mathbb{N}^*=\{1,2,3,\ldots\}$ se considera la relación de orden $x\leq y\Leftrightarrow$ $x$ divide a $y.$ Analizar si es de orden total. ¿Es buen orden?
2. En $\mathbb{Z},$ se define la relación: $xRy\Leftrightarrow x=y^n$ para algún $n$ entero positivo. Demostrar que es relación de orden. ¿Es buen orden?
3. Demostrar que todo buen orden es un orden total.
4. Sea $(\mathbb{R},\leq)$ el conjunto ordenado de los números reales con el orden usual $\leq.$ En $C=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ se define la relación: $$(x_1,y_1)R(x_2,y_2)\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \text{si }x_1\neq x_2 \mbox{ entonces } x_1<x_2\\ \text{si }x_1=x_2 \mbox{ entonces } y_1\leq y_2.\end{matrix}\right.$$ $(a)$ Demostrar que $R$ es una relación de orden sobre $C.$
   $(b)$ Demostrar que $R$ es una relación de orden total sobre $C.$
5. ¿Existe un conjunto parcialmente ordenado que posea un único elemento maximal y que sin embargo este no sea máximo

Solución
1. Se verifica $2\not\leq 3$ y $3\not\leq 2,$ es decir $\leq$ no es orden total, en consecuencia tampoco es buen orden.
2. Reflexiva. Para todo $x\in \mathbb{Z}$ se verifica $x=x^1,$ es decir $xRx.$
   Antisimétrica. Para todo par de elementos $x,y\in\mathbb{Z}:$ $$\left \{ \begin{matrix} xRy \\yRx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} x=y^n\; (n\text{ entero positivo})\\y=x^m \; (m\text{ entero positivo})\end{matrix}\right.\Rightarrow x=x^{nm}.$$ Si $x\neq 0,$ entonces ha de ser necesariamente $mn=1$ lo cual implica $m=n=1$ y por tanto $x=y.$ Si $x=0,$ entonces $y=0^m=0.$ Es decir, en cualquier caso $x=y.$
   Transitiva. Para toda terna de elementos $x,y,z\in\mathbb{Z}:$ $$\left \{ \begin{matrix} xRy \\yRz \end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} x=y^n\; (n\text{ entero positivo})\\y=z^m \; (m\text{ entero positivo})\end{matrix}\right.\Rightarrow x=z^{nm}.$$ Dado que $mn$ es entero positivo, se cumple $xRz.$ Hemos demostrado que $R$ es relación de orden en $\mathbb{Z}.$ No es relación de orden total, basta elegir los elementos de $\mathbb{Z},$ $2$ y $3.$ Claramente $2\neq 3^k$ para todo $k$ entero positivo y $3\neq 2^k$ para todo $k$ entero positivo. Entonces, $2\not R 3$ y $3\not R 2.$ Como consecuencia, no es buen orden.
3. Si $\leq$ es buen orden en $A,$ todo subconjunto de $A$ distinto del vacío tiene elemento mínimo. Sean $x,y$ dos elementos de $A,$ entonces $\{x,y\}$ tiene elemento mínimo. Si el mínimo es $x,$ se verifica $x\leq y,$ y si es $y,$ se verifica $y\leq x.$ Es decir, $\leq$ es orden total.
4. $(a)$ Reflexiva. Para todo $(x,y)\in C$ se verifica $x=x$ e $y\leq y,$ lo cual implica $(x,y)R(x,y).$
   Antisimétrica. Sean $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2),$ elementos de $C$ con $(x_1,y_1)R(x_2,y_2)$ y $(x_2,y_2)R(x_1,y_1).$ Si $x_1=x_2,$ entonces $y_1\leq y_2$ e $y_2\leq y_1.$ Es decir, $x_1=x_2$ e $y_1=y_2,$ luego $(x_1,y_1)=(x_2,y_2).$ No puede ocurrir $x_1\neq x_2,$ pues si así fuera $x_1<x_2$ y $x_2<x_1$ (absurdo).
   Transitiva. Sean $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ y $(x_3,y_3)$ elementos de $C$ tales que $(x_1,y_1)R(x_2,y_2)$ y $(x_2,y_2)R(x_3,y_3).$ Tenemos, $$x_1=x_2\Rightarrow y_1\leq y_2\Rightarrow\left \{ \begin{matrix} x_2=x_3\Rightarrow y_2\leq y_3\\x_2\neq x_3\Rightarrow x_2< x_3\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1=x_3\wedge y_1\leq y_3\\x_1\neq x_3\wedge x_1<x_3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} (x_1,y_1)R(x_3,y_3)\\(x_1,y_1)R(x_3,y_3).\end{matrix}\right.$$ Es decir, si $x_1=x_2,$ en cualquier caso ocurre $(x_1,y_1)R(x_3,y_3).$ Analicemos ahora el caso $x_1\neq x_2.$ $$x_1\neq x_2\Rightarrow x_1<x_2 \Rightarrow\left \{ \begin{matrix} x_2=x_3\Rightarrow x_1< x_3\\x_2\neq x_3\Rightarrow x_2<x_3\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1<x_3\\x_1<x_3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} (x_1,y_1)R(x_3,y_3)\\(x_1,y_1)R(x_3,y_3).\end{matrix}\right.$$ Es decir, si $x_1\neq x_2,$ en cualquier caso ocurre $(x_1,y_1)R(x_3,y_3).$ Concluimos pues que $R$ es relación de orden en $C.$

   $(b)$ Sean $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ elementos de $C.$ Puede ocurrir $x_1=x_2$ o $x_1\neq x_2.$
   Si $x_1=x_2,$ o bien $y_1\leq y_2$ o bien $y_2\leq y_1,$ lo cual implica que o bien $(x_1,y_1)R(x_2,y_2),$ o bien $(x_2,y_2)R(x_1,y_1).$
   Si $x_1\neq x_2,$ o bien $x_1<x_2$ o bien $x_2<x_1,$ lo cual implica que o bien $(x_1,y_1)R(x_2,y_2),$ o bien $(x_2,y_2)R(x_1,y_1).$
   Hemos demostrado que $R$ es relación de orden total en $C.$

5. Sí, existe. Consideremos en $A=(0,1]\cup [2,3)$ el orden $$\left \{ \begin{matrix} x\leq_A y\Leftrightarrow x\leq y& \mbox{ si }&x,y\in (0,1] \\x\leq_A y\Leftrightarrow x\leq y & \mbox{ si }&x,y\in [2,3),\end{matrix}\right.$$ en donde $\leq$ representa el orden usual. Entonces, $1$ es el único elemento maximal de $A,$ pero no es máximo.