Composición de funciones

Proporcionamos ejercicios sobre composición de funciones.

RESUMEN TEÓRICO

Definición. Sean $f:A\to B$ y $g:B\to C$ dos funciones: $$A\stackrel{f}{\longrightarrow}B \stackrel{g}{\longrightarrow} C.$$ La función de $A$ en $C$ que asigna a cada elemento $a\in A$ el elemento $g\left(f(a)\right)$ de $C$ se llama composición de $f$ y $g$ y se denota por $g\circ f.$ Es decir, $$\begin{aligned}&g\circ f:A\to C\\
&(g\circ f)(a)=g\left(f(a)\right)\quad \forall a\in A.\end{aligned}$$
Ejemplo. Sean $A=\{x,y,z\},$ $B=\{1,2\}$, $C=\{c,d,e\}$ y las funciones $f:A\to B$ y $g:B\to C$ definidas mediante $$\begin{aligned}&f(x)=1,\;f(y)=1,\;f(z)=2,\\
&g(1)=c,\;g(2)=e.\end{aligned}$$ Entonces, la aplicación $g\circ f:A\to C$ es: $$(g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)=g(1)=c ,$$ $$(g\circ f)(y)=g\left(f(y)\right)=g(1)=c ,$$ $$(g\circ f)(z)=g\left(f(z)\right)=g(2)=e.$$

Enunciado

Las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ están definidas por: $$f(x)=\left \{ \begin{matrix} 3x-7 & \mbox{ si }& x>2\\x^2-2|x| & \mbox{si}& x\leq 2\end{matrix}\right.,\quad g(x)=2x+3.$$ Calcular:
$(i)\;f(-2).$ $(ii)\;g(-1).$ $(iii)\;f(3).$ $(iv)\; (g\circ f)(1).$ $(v)\,(f\circ g)(2).$ $(vi)\;(f\circ f)(4).$
Las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ están definidas por $f(x)=x^2-1$ y $g(x)=2x+5.$ Determinar
$$g\circ f,\quad f\circ g,\quad f\circ f,\quad g\circ g.$$
Demostrar la propiedad asociativa de la composición de aplicaciones, es decir si $f:A\to B$, $g:B\to C$ y $h:C\to D$, entonces $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).$

Solución

Usando la definición de composición:
$(i)$ $f(-2)=(-2)^2-2|-2|=4-4=0.$
$(ii)$ $g(-1)=2(-1)+3=1.$
$(iii)$ $f(3)=3\cdot 3-7=2.$
$(iv)$ $(g\circ f)(1)=g\left(f(1)\right)=g\left(1^2-2\cdot |-1|\right)=g(-1)=2(-1)+3=1.$
$(v)$ $(f\circ g)(2)=f\left(g(2)\right)=f\left(2\cdot 2+3\right)=f(7)=3\cdot 7-7=14.$
$(vi)$ $(f\circ f)(4)=f\left(f(4)\right)=f\left(3\cdot 4-7\right)=f(5)=3\cdot 5-7=8.$
Usando la definición de composición:
$(g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)=g\left(x^2-1 \right)=2(x^2-1)+5=2x^2+3.$
$(f\circ g)(x)=f\left(g(x)\right)=f\left(2x+5 \right)=(2x+5)^2-1=4x^2+20x+24.$
$(f\circ f)(x)=f\left(f(x)\right)=f\left(x^2-1 \right)=(x^2-1)^2-1=x^4-2x^2.$
$(g\circ g)(x)=g\left(g(x)\right)=g\left(2x+5 \right)=2(2x+5)+5=4x+15.$
Para todo $a\in A$ se verifica $$\left((h\circ g)\circ f\right)(a)=(h\circ g)\left(f(a)\right)=h\left(g\left(f(a)\right)\right).$$ $$\left(h\circ (g\circ f)\right)(a)=h\left((g\circ f)(a)\right)=h\left((g\left(f(a)\right)\right).$$ Es decir, $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).$