Concepto de función

Publicada el febrero 12, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de función.

RESUMEN TEÓRICO
  • Definición. Supongamos que a cada elemento de un conjunto $A$ le asignamos un único elemento de un conjunto $B$. La colección $f$ de tales asignaciones se llama función o aplicación de $A$ en $B$ y se escribe: $$f:A\to B\text{ o bien } A\stackrel{f}{\longrightarrow}B .$$ Si $a\in A$, al único elemento de $B$ que le asignamos a $a$ se le llama imagen de $a$ por $f$. Si $b=f(a)$, decimos que $a$ es un original de $b$.
  • Ejemplo 1. Si $A=\{a,b,c,d\}$ y $B=\{1,2,3\}$, entonces $$f(a)=1,\;f(b)=3,\;f(c)=3,\;f(d)=1.\qquad (1)$$ es una función o aplicación, pues a cada elemento de $A$ le hemos asignado un único elemento de $B$. La imagen de $a$ es 1, la de $b$ es $3$, la de $c$ es $3$ y la de $d$ es $1.$ El elemento $1$ de $B$ tiene dos originales: el $a$ y el $d$, el $3$ tiene dos originales: el $b$ y el $c$. Por último, el $2$ no tiene originales.
  • Definición. Si $f:A\to B$ es una aplicación, al conjunto $A$ se le llama dominio de $f$ y al $B$, codominio. Se llama imagen o rango de $f$, al conjunto de las imágenes de $f,$ y se le denota por $f(A)$ o bien por $\text{Im }f$. Es decir, $$f(A)=\text{Im }f=\{f(a):a\in A\}.$$
  • Ejemplo 2. En el ejemplo $(1)$, $f(A)=\text{Im }f=\{1,3\}$.
  • Definición. Dos funciones $f:A\to B$ y $g:A\to B$ se dice que son iguales y se escribe $f=g$, si y sólo si $f(a)=g(a)$ $\forall a\in A.$
  • Definición. Dada una aplicación $f:A\to B$, se llama grafo de $f$ y se representa por $\Gamma (f)$ al subconjunto de $A\times B$: $$\Gamma (f)=\{\left(a,f(a)\right):a\in A\}.$$
  • Ejemplo 3. En el ejemplo $(1),$ $\Gamma (f)=\{(a,1),(b,3),(c,3),(d,1)\}.$
    Enunciado
  1. Se consideran los conjuntos $A=\{1,2,3,4\}$ y $B=\{x,y,z,u,v,w\}$. Sea la aplicación $f:A\to B$ la aplicación dada por $f(1)=x,$ $f(2)=z,$ $f(3)=u,$ $f(4)=x$.
    $(i)$ Hallar los originales de cada elemento de $B$.
    $(ii)$ Hallar la imagen de $f$.
    $(iii)$ Hallar el grafo de $f$.
  2. Se considera la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ que asigna a cada número real su cuadrado, es decir $f(x)=x^2$.
    $(i)$ Hallar $f(0)$, $f(1)$ y $f(-1)$.
    $(ii)$ Determinar los originales de $9$.
    $(iii)$ Hallar $\text{Im }f$.
    $(iv)$ Determinar el grafo de $f$.
  3. Se considera la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$: $$f(x)=\left \{ \begin{matrix} 2x & \mbox{ si }& x\geq 0\\-1 & \mbox{si}& x<0\end{matrix}\right.$$ $(i)$ Hallar $f(0)$, $f(2)$, $f(-1)$ y $f(-2)$.
    $(ii)$ Determinar los originales de $-1$ y los de $7$.
    $(iii)$ Hallar $\text{Im }f$.
    $(iv)$ Determinar el grafo de $f$
    Solución
  1. $(i)$ $x$ tiene dos originales, el $1$ y el $4$; $z$ tiene un original, el $2$; $u$ tiene un original, el $3$. Los elementos $v$ y $w$ no tienen originales.
    $(ii)$ $\text{Im }f=\{x,z,u\}$.
    $(iii)$ $\Gamma (f)=\{(1,x),(2,z),(3,u),(4,x)\}.$
  2. $(i)$ Tenemos $f(0)=0^2=0$, $f(1)=1^2=1$ y $f(-1)=(-1)^2=1$.
    $(ii)$ Los originales de $9$ son los números reales $x$ que cumplen $f(x)=x^2$ es decir, los que cumplen $x^2=9$, y estos son $3$ y $-3$.
    $(iii)$ Para todo $x\in \mathbb{R}$ se verifica $f(x)=x^2\geq 0$. Por otra parte, si $y\geq 0$, el número real $\sqrt{y}$ satisface $f\left(\sqrt{y}\right)=\left(\sqrt{y}\right)^2=y$, lo cual implica que todo número real $\geq 0$ pertenece a $\text{Im }f$. Es decir, $\text{Im }f=[0,+\infty)$.
    $(iv)$ El grafo de $f$ es $\Gamma (f)=\{(x,x^2):x\in\mathbb{R}\}.$
  3. $(i)$ De acuerdo con la definición de $f$, $f(0)=2\cdot 0=0$, $f(2)=2\cdot 2=4,$ $f(-1)=-1$ y $f(-2)=-1$.
    $(ii)$ Todo número real negativo $x$ cumple $f(x)=-1$ y por tanto es original de $-1$. Si $x\geq 0$, $f(x)=2x$ es positivo y no puede ser original de $-1$. En consecuencia los originales de $-1$ son los números del intervalo $(-\infty,0).$ Los únicos posibles originales $x$ de $7$ han de ser no negativos es decir $f(x)=2x=7$ con lo cual $x=7/2.$
    $(iii)$ Cuando $x$ recorre los números reales no negativos, $2x$ recorre también los reales no negativos. Además, $-1$ es la imagen de cualquier real no negativo, por tanto $\text{Im }f=[0,+\infty)\cup\{-1\}.$
    $(iv)$ De acuerdo con la definición de $f$, su grafo es $$\Gamma (f)=\{(x,2x):x\geq 0\}\cup\{(x,-1):x<0\}.$$
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