Continuidad de las funciones no elementales

Proporcionamos ejercicios sobre la continuidad de las funciones no elementales.

Enunciado
1. Estudiar la continuidad de la función: $$f(x)= \left \{ \begin{matrix}
   \displaystyle\frac{x^3-8}{x-2} & \mbox{ si }& x\neq 2\\5 & \mbox{si}& x=2.\end{matrix}\right.$$
2. Estudiar la continuidad de la función: $$g(x)=\left \{ \begin{matrix}\;\;\; 3x^2+1 & \mbox{ si }& x\leq -2\\-3x+7 & \mbox{si}& x>-2.\end{matrix}\right.$$
3. Estudiar la continuidad de la función: $$h(x)=\left \{ \begin{matrix} e^{1/x} & \mbox{ si }& x\neq 0\\0 & \mbox{si}& x=0.\end{matrix}\right.$$
4. Se considera la función $$f:(0,1)\to \mathbb{R},\quad f(x)=\dfrac{x^2-x}{\text{sen }\pi x}.$$ Definir $f(0)$ y $f(1)$ para que la función sea continua en $[0,1].$
5. Estudiar la continuidad de la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;\;f(x)=\left|x\right|.$
6. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por: $$f(x)= \left \{ \begin{matrix}
   \displaystyle x & \mbox{ si }& x\mbox{ es racional}\\-x & \mbox{si}& x \mbox{ es irracional}.\end{matrix}\right.$$ Estudiar la continuidad de $f.$
7. Estudiar la continuidad de la función $f(x)=\lfloor x\rfloor$ (función parte entera de $x$).

Solución
1. Sea $x_0\neq 2$, entonces existe un intervalo abierto $(a,b)$ que contiene a $x_0$ de tal forma que la función $f$ es elemental y está definida en $(a,b)$. Por el teorema de continuidad de las funciones elementales concluimos que $f$ es continua en $x_0$. Estudiemos la continuidad en $x_0=2$. Usando la definición:
   $(i)$ Existe $f(2)=5$.
   $(ii)$ Veamos si existe $\displaystyle\lim_{x \to 2}{f(x)}:$ $$\displaystyle\lim_{x \to 2}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to 2}{\displaystyle\frac{x^3-8}{x-2}}=\left\{{\displaystyle\frac{0}{0}}\right\}$$ $$=\displaystyle\lim_{x \to 2}{\displaystyle\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}}=\displaystyle\lim_{x \to 2}{(x^2+2x+4)}=12.$$ $(iii)$ $\displaystyle\lim_{x \to 2}{f(x)}\neq f(2)$.
   Por tanto, $f$ no es continua en $2$. Concluimos que la función $f$ es continua exactamente en $\mathbb{R}-\{2\}$.
2. Sea $x_0\neq -2$, entonces existe un intervalo abierto $(a,b)$ que contiene a $x_0$ de tal forma que la función $g$ es elemental y está definida en $(a,b)$. Por el teorema de continuidad de las funciones elementales concluimos que $g$ es continua en $x_0$. Estudiemos ahora la continuidad en $x_0=-2$. Usando la definición:
   $(i)$ Existe $g(-2)=3(-2)^2+1=13$.
   $(ii)$ Veamos si existe $\displaystyle\lim_{x \to -2}{g(x)}:$ $$\displaystyle\lim_{x \to -2^-}{g(x)}=\displaystyle\lim_{x \to -2^-}{(3x^2+1)}=13,$$ $$\displaystyle\lim_{x \to -2^+}{g(x)}=\displaystyle\lim_{x \to -2^+}{(-3x+7)}=13.$$ Es decir, existe $\lim_{x \to -2}{g(x)}$ y es igual a $13$.
   $(iii)$ $\displaystyle\lim_{x \to -2}{g(x)}=g(-2)$.
   Por tanto, $g$ también es continua en $-2$. Concluimos que la función $g$ es continua en $\mathbb{R}$.
3. Sea $x_0\neq 0$, entonces existe un intervalo abierto $(a,b)$ que contiene a $x_0$ de tal forma que la función $h$ es elemental y está definida en $(a,b)$. Por el teorema de continuidad de las funciones elementales concluimos que $h$ es continua en $x_0$. Estudiemos ahora la continuidad en $x_0=0$. Usando la definición:
   $(i)$ Existe $h(0)=0$.
   $(ii)$ Veamos si existe $\displaystyle\lim_{x \to 0}{h(x)}:$ $$\displaystyle\lim_{x \to 0^-}{h(x)}=\displaystyle\lim_{x \to 0^-}{e^{1/x}}=e^{-\infty}=0,$$ $$\displaystyle\lim_{x \to 0^+}{h(x)}=\displaystyle\lim_{x \to 0^+}e^{1/x}={e^{+\infty}}=+\infty.$$ Es decir, no existe $\lim_{x \to 0}{h(x)}$ y por tanto la función no es continua en $0$. Concluimos que la función $h$ es continua exactamente en $\mathbb{R}-\{0\}$.
4. Cuando $x$ recorre el intervalo $(0,1)$, $\pi x$ recorre el intervalo $(0,\pi)$. Es decir, $\text{sen }\pi x\neq 0$ en $(0,1)$. La función $f$ es elemental y está definida en $(0,1)$, luego es continua en éste intervalo.
   Usando $\text{sen }\epsilon\sim \epsilon$ cuando $\epsilon\to 0:$ $$\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\frac{x^2-x}{\text{sen }\pi x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x^2-x}{\pi x}=\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{x}{\pi}-\frac{1}{\pi}\right)=-\frac{1}
   {\pi}.$$ Efectuando el cambio $t=1-x:$ $$\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}\frac{x^2-x}{\text{sen }\pi x}=\lim_{t\to 0^+}\frac{t^2-t}{\text{sen }(\pi-\pi t)}=\lim_{t\to 0^+}\frac{t^2-t}{\text{sen }\pi t}=-\frac{1}{\pi}.$$ Por tanto, se ha de definir $f(0)=f(1)=-\dfrac{1}{\pi}$ para que $f$ sea continua en $[0,1].$
5. La función valor absoluto está definida mediante: $$f(x)=\left \{ \begin{matrix}\; x & \mbox{ si }& x\geq 0\\-x & \mbox{si}& x<0.\end{matrix}\right.$$ Sea $x_0<0$, entonces existe un intervalo abierto $(a,b)$ que contiene a $x_0$ de tal forma que la función es $f(x)=-x$, es decir es elemental y está definida en $(a,b)$. Por el teorema de continuidad de las funciones elementales concluimos que $f$ es continua en $x_0$. Análogo razonamiento si $x_0>0$. Estudiemos ahora la continuidad en $x_0=0$. Usando la definición:
   $(i)$ Existe $f(0)=0$.
   $(ii) $Veamos si existe $\lim_{x \to 0}{f(x)}$ $$\displaystyle\lim_{x \to 0^-}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to 0^-}{-x}=0,\quad\displaystyle\lim_{x \to 0^+}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to 0^+}{x}=0.$$ Es decir, existe $\lim_{x \to 0}{f(x)}$ y es igual a $0$.
   $(iii)$ Se verifica $\displaystyle\lim_{x \to 0}{f(x)}=f(0)$.
   La función también es continua en $x_0=0$. Podemos pues concluir que es continua en $\mathbb{R}.$
6. Sea $x_0\in\mathbb{R}$. Entonces: $$\displaystyle\lim_{x\to x_0\;(x\in\mathbb{Q})}f(x)=\lim_{x\to x_0\;(x\in\mathbb{Q})}x=x_0,$$ $$\displaystyle\lim_{x\to x_0\;(x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q})}f(x)=\lim_{x\to x_0\;(x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q})}-x=-x_0.$$ Para que exista $\displaystyle\lim_{x\to x_0\;(x\in\mathbb{R})}f(x)$ se ha de verificar $x_0=-x_0$, que equivale a $x_0=0$. Además, en este caso $f(0)=\displaystyle\lim_{x\to 0\;(x\in\mathbb{R})}f(x)$. Concluimos que la función $f$ es continua exactamente en $x=0$.
7. Sea $x_0$ real tal que $x_0\not\in \mathbb{Z}$, entonces existe $n\in\mathbb{Z}$ tal que $x_0\in (n,n+1)$. Por la definición de la función parte entera, $f(x)=n$ para todo $x\in (n,n+1)$. La función $f$ es por tanto continua en $(n,n+1)$ (teorema de continuidad de las funciones elementales), en consecuencia lo es en $x_0$.Sea $x_0$ real tal que $x_0\in \mathbb{Z}$. Por la definición de función parte entera, tenemos: $$f(x)= \left \{ \begin{matrix}
   \displaystyle x_0-1 & \mbox{ si }& x\in[x_0-1,x_0)\\x_0 & \mbox{si}& x\in[x_0,x_0+1).\end{matrix}\right.$$ Entonces, $$\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}(x_0-1)=x_0-1,$$ $$\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}(x_0)=x_0.$$ es decir, $\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)\neq \displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)$ lo cual implica que no existe $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$, luego $f$ no es continua en $x_0$. Concluimos que $f(x)=\lfloor x\rfloor$ es continua exactamente en $\mathbb{R}-\mathbb{Z}$.