Primeras propiedades de los grupos

Publicada el febrero 21, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre algunas propiedades de los grupos.

RESUMEN TEÓRICO
  • Si a la operación $*$ de un grupo la designamos por $+$ se dice que estamos usando notación aditiva. En éste caso, al elemento neutro $e$ se le designa por $0$ y al simétrico $x’$ de $x$ se denota por $-x$, y se le llama también elemento opuesto de $x$.
  • Si a la operación $*$ de un grupo la designamos por $\cdot$ se dice que estamos usando notación multiplicativa. En éste caso, al elemento neutro $e$ se le designa por $1$ (o se mantiene el símbolo $e$) y al simétrico $x’$ de $x$ se denota por $x^{-1}$, y se le llama también elemento inverso de $x$.
  • Por ejemplo, para un grupo $(G,*)$ si usamos la notación aditiva, la expresión $x*y’$ se escribe $x+(-y)$ y si usamos la notación multiplicativa se escribe $x\cdot y^{-1}$. En notación multiplicativa, en general el símbolo $\cdot$ no se escribe. Por ejemplo $x\cdot y^{-1}$ se escribe usualmente $xy^{-1}$.
  • En notación aditiva, $x-y$ es una forma abreviada de escribir $x+(-y)$.
  • Si $(G,+)$ es un grupo con elemento neutro $0$ y $a\in G,$ denotamos: $$\begin{aligned}&na=a+a+\ldots+a \quad (n\text{ términos)}\quad\mbox{ si }n\in\mathbb{Z}\;(n>0), \\&0a=0,\\&na=(-n)(-a)\quad\text{ si }\in\mathbb{Z}\;(n<0).\end{aligned}$$ Por ejemplo, $3a=a+a+a,$ $0a=0,$ $(-3)a=(-a)+(-a)+(-a).$
  • Si $(G,\cdot)$ es un grupo con elemento neutro $e,$ y $a\in G$ denotamos:
    $$\begin{aligned}&a^n=aa\ldots a \quad(n\text{ factores)}\quad\mbox{ si }n\in\mathbb{Z}\;(n>0) ,\\&a^0=e,\\&a^n=(a^{-1})^{-n}\quad\text{ si }\in\mathbb{Z}\;(n<0).\end{aligned}$$
    Por ejemplo, $a^3=aaa,$ $a^0=e,$ $a^{-3}=a^{-1}a^{-1}a^{-1}.$
  • Aunque un grupo $(G,*)$ es un conjunto $ G $ con una operación $ * $, frecuentemente se usa abreviadamente la expresión Sea $ G $ un grupo en vez de Sea $( G,*) $ un grupo, especialmente cuando la operación se sobreentiende.
  • Propiedades. $(i)$ Si $G$ es un grupo aditivo, para todo $a\in G$ y para todo $m,n\in\mathbb{Z}:$ $$(m+n)a=ma+na,\quad m(na)=(mn)a.$$ $(ii)$ Si $G$ es un grupo multiplicativo, para todo $a\in G$ y para todo $m,n\in\mathbb{Z}:$ $$a^{m+n}=a^na^m,\quad (a^n)^m=a^{mn}.$$
    Enunciado
  1. Sea $(G,*)$ un grupo. Demostrar que:
    $(i)$ El elemento neutro $e$ es único.
    $(ii)$ Para cada $x\in G$ su simétrico $x’$ es único.
    $(iii)$ Para cada $x\in G$ se verifica $(x’)’=x$ (es decir, el simétrico del simétrico de un elemento es el elemento).
    $(iv)$ Para cualquier par de elementos $x,y$ de $G$ se verifica $(x*y)’=y’*x’$ (es decir, el simétrico del operado de dos elementos es el operado de los simétricos cambiado de orden).
    $(v)$ Todo elemento $a$ de $G$ es regular, es decir: $$a*b=a*c\Rightarrow b=c,\quad b*a=c*a\Rightarrow b=c.$$
  2. Sea $(G,*)$ un grupo. Escribir la propiedad $(x*y)’=y’*x’$ en notaciones aditiva y multiplicativa.
  3. Sea un grupo $(G,\cdot)$ tal que para todo $x\in G$ se verifica $x^2=e$. Demostrar que el grupo es abeliano.
  4. Sobre un grupo multiplicativo abeliano, resolver la ecuación $xabxc=bxa.$
  5. Dado que el grupo es abeliano, la ecuación dada equivale a $xcxab=xab.$ Dado que los elementos de un grupo son regulares, queda $xc=e,$ con lo cual, $x=c^{-1}.$
    Solución
  1. $(i)$ Supongamos que existieran dos elementos neutros $e$ y $e’$. Por ser $e$ neutro se verifica $e*e’=e’$ y por ser $e’$ neutro, $e*e’=e$. En consecuencia $e=e’$.
    $(ii)$ Supongamos que $x$ tuviera dos simétricos $x’$ y $x»$, entonces se verificaría $$x*x’=x’*x=e,\quad x*x»=x»*x=e.$$ Las igualdades anteriores implican $x*x’=x*x»$. Entonces, $$x*x’=x*x»\Rightarrow x’*(x*x’)=x’*(x*x»)\Rightarrow $$ $$ (x’*x)*x’=(x’*x)*x»\Rightarrow e*x’=e*x»\Rightarrow x’=x».$$ Es decir, para cada $x\in G$ su simétrico $x’$ es único.
    $(iii)$ Tenemos $(x’)*(x’)’=e$ y por otra parte $x’*x=e$. Dado que el simétrico de $x’$ es único se concluye que $(x’)’=x$.
    $(iv)$ Se verifica $$(x*y)*(y’*x’)=x*(y*y’)*x’=x*e*x’=x*x’=e.$$ Como el simétrico de cada elemento es único se concluye que $(x*y)’=y’*x’$.
    $(v)$ Si $a*b=a*c$, operando a la izquierda por el simétrico $a’$ de $a$: $$a’*(a*b)=a’*(a*c)\Rightarrow (a’*a)*b=(a’*a)*c$$ $$\Rightarrow e*b=e*c\Rightarrow b=c.$$ Si $b*a=c*a$, operando a la derecha por el simétrico $a’$ de $a$ obtenemos de manera análoga $b=c$.
  2. Si al grupo lo denotamos por $(G,+)$ la propiedad se escribe $$-(x+y)=(-y)+(-x),$$ o bien $$-(x+y)=-x-y.$$ Si al grupo lo denotamos por $(G,\cdot)$ la propiedad se escribe $$(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}.$$
  3. Sean $x,y$ elementos de $G$, por hipótesis se verifica $$(xy)^2=e,\quad x^2=e,\quad y^2=e.$$ Esto implica $(xy)^2=x^2y^2$ o equivalentemente $xyxy=xxyy$. Como los elementos de un grupo son regulares a la derecha y a la izquierda, se deduce $yx=xy$. Es decir, el grupo es abeliano.
  4. Dado que el grupo es abeliano, la ecuación dada equivale a $xcxab=xab.$ Dado que los elementos de un grupo son regulares, queda $xc=e,$ con lo cual, $x=c^{-1}.$
  5. Multiplicando ambos miembros por $a$ a la derecha, queda $(xa)(xa)=bb.$ Basta por tanto elegir $x$ tal que $xa=b.$ En consecuencia, una solución de la ecuación dada es $x=ba^{-1}.$
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