Tabla de Cayley

Proporcionamos ejercicios sobre la tabla de Cayley.

Enunciado
1. Construir la tabla de Cayley del grupo $G=\{1,-1\}$ con la operación producto usual de números.
2. Sea $G=\{1,-1,i,-i\}$ en donde $i$ representa la unidad imaginaria. Se considera la operación $\cdot$ producto habitual de números complejos. Construir la correspondiente tabla de Cayley, y demostrar que $(G,\cdot )$ es grupo abeliano.
3. Sea $G=\left\{{f_1,f_2,f_3,f_4}\right\}$ el conjunto de las aplicaciones de $\mathbb{R}-\{0\}$ en $\mathbb{R}-\{0\}$ definidas mediante: $$f_1(x)=x\;,\;f_2(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\;,\;f_3(x)=-x\;,\;f_4(x)=-\displaystyle\frac{1}{x}.$$ Construir la correspondiente tabla de Cayley para la operación $\circ$ composición de aplicaciones. Demostrar que $(G,\circ)$ es un grupo.
4. Sea $G=\{a,b,c\}$ y la operación $\cdot$ en $G$ cuya tabla de Cayley es
   $$\begin{array}{r|*{3}{r}}{\cdot}&a&b&c\\\hline
   {}a&a&b&c\\
   {}b&b&c&a\\
   {}c&c&a&b
   \end{array}$$ Determinar su elemento neutro, si éste existe y el inverso de cada elemento caso de existir.

Solución
1. La tabla de Cayley es:$$\begin{array}{r|*{2}{r}}{\cdot}&1&-1\\\hline
   {}1&1&-1\\
   {}-1&1&1\\
   \end{array}$$
2. La tabla de Cayley de la operación es $$\begin{array}{r|*{4}{r}}{\cdot}&1&-1&i&-i\\\hline
   {}1&1&-1&i&-i\\
   {}-1&-1&1&-i&i\\
   {}i&i&-i&-1&1\\
   {}-i&-i&i&1&-1
   \end{array}$$ lo cual prueba que la operación es interna. Por otra parte, sabemos que el producto de números complejos es operación asociativa y conmutativa., y el número $1$ es elemento neutro de la operación.Por último y simplemente observando la tabla de Cayley, verificamos que todo elemento de $G$ tiene inverso en $G:$ $1^{-1}=1,$ $(-1)^{-1}=-1,$ $i^{-1}=-i,$ $(-i)^{-1}=i.$
3. Usando la definición de composición de aplicaciones, fácilmente construimos la tabla de Cayley. Por ejemplo: $$\left(f_3\circ f_4\right)(x)=f_3\left[f_4(x)\right]=f_3\left(-\frac{1}{x}\right)=-\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}\Rightarrow f_3\circ f_4=f_2,$$ etc. Obtendríamos la tabla: $$\begin{array}{r|*{4}{r}}{\circ}&f_1&f_2&f_3&f_4\\\hline
   {}f_1&f_1&f_2&f_3&f_4\\
   {}f_2&f_2&f_1&f_4&f_3\\
   {}f_3&f_3&f_4&f_1&f_2\\
   {}f_4&f_4&f_3&f_2&f_1\\
   \end{array}$$ La operación es claramente interna y sabemos que la composición de aplicaciones es asociativa. El elemento $f_1$ de $G$ satisface $f_i\circ f_1=f_1\circ f_i$ para todo $i=1,2,3,4$, por tanto es elemento neutro. Además, todo $f_i$ tiene elemento inverso, siendo $f_i^{-1}=f_i$ para todo $i=1,2,3,4$. Concluimos que $(G,\circ)$ es un grupo (además conmutativo, como fácilmente se observa).
4. Se verifica $aa=aa=a,\quad ab=ba=b,\quad ac=ca=c,$ en consecuencia, $a$ es elemento neutro para la operación dada. Por otra parte $$\begin{aligned}&aa=aa=a\Rightarrow a^{-1}=a.\\
   &bc=cb=a\Rightarrow b^{-1}=c\text{ y }c^{-1}=b.\end{aligned}$$