Generadores de un grupo, grupo cíclico

Proporcionamos ejercicios sobre generadores de un grupo y  grupo cíclico.

Enunciado
1. Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $S$ un subconjunto no vacío de $G$.. Sea $\langle S \rangle$ el conjunto de todos los elementos de $G$ que son producto de un número finito de elementos de tal manera que cada factor es o bien un elemento de $S$ o bien el inverso de un elemento de $S$. Demostrar que:
   $(i)$ $\langle S \rangle$ es subgrupo de $G$ (según sabemos, se le llama subgrupo generado por $S$).
   $(ii)$ $\langle S \rangle$ contiene a $S$ y es el menor de todos los subgrupos de $G$ que contienen a $S.$
2. Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $S$ un subconjunto no vacío de $G$. Demostrar que $\langle S \rangle=\bigcap H_i$ en donde $\{H_i\}$ es la familia de todos los subgrupos de $G$ que contienen a $S$.
3. Sea el grupo $(\mathbb{C},+)$ con la operación $+$ usual. Determinar $\langle S\rangle$, siendo $S=\{1,i\}$.
4. Se considera el grupo $G=\{1,-1\}$ con la operación $\cdot$ producto habitual de números. Demostrar que el grupo es cíclico.
5. Se considera el grupo $G=\{1,-1,i,-i\}$ ($i$ es unidad imaginaria) con la operación $\cdot$ producto habitual de números complejos. Demostrar que el grupo es cíclico.
6. Demostrar que $(\mathbb{Z},+)$ es cíclico ($+$ es la suma habitual).
7. Demostrar que todo grupo cíclico es conmutativo.
8. Demostrar que todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

Solución
1. $(i)$ El elemento neutro $e$ de $G$ pertenece a $\langle S \rangle$, ya que, por ser $S\neq \emptyset$, existe $a\in S$ luego $e=aa^{-1}\in \langle S \rangle$. Si $a,b\in \langle S \rangle$ entonces $$a=a_1a_2\ldots a_n,\quad b=b_1b_2\ldots b_m.$$ en donde los $a_i$ y los $b_j$ o sus simétricos son elementos de $S$. Por otra parte $$ab^{-1}=a_1a_2\ldots a_nb_m^{-1}\ldots b_2^{-1}b_1^{-1}.$$ Por hipótesis, para cada $i$, o bien $a_i$ o bien $a_i^{-1}$ está en $S$. Por hipótesis, para cada $j$, o bien $b_j$ o bien $b_j^{-1}$ está en $S$, es decir o bien $b_j^{-1}$ está en $S$ o bien $(b_j^{-1})^{-1}=b_j$ está en $S$. Esto implica que $ab^{-1}\in \langle S \rangle$ y como consecuencia $\langle S \rangle$ es sungrupo de $G$.
   $(ii)$ Si $a\in S$ entonces $a=a$ en donde $a\in S$, es decir $a\in \langle S \rangle$, por tanto $S\subset \langle S \rangle$.
   Sea $H$ subgrupo de $G$ con $S\subset H$. Si $a\in \langle S \rangle$, $a$ es de la forma $a=a_1a_2\ldots a_n$ y para cualquier $i$, o bien $a_i\in S$ o bien $a_i^{-1}\in S$. Como los elementos de $S$ están en $H$ y $H$ es subgrupo, para cada $i$, o bien $a_i\in H$ o bien $(a_i^{-1})^{-1}=a_i\in H$ y por la interna en $H$, se verifica $a\in H.$ Hemos demostrado que $\langle S \rangle\subset H$ y por tanto $\langle S \rangle$ es el menor de todos los subgrupos de $G$ que contienen a $S$.
2. Dado que $S\subset H_i$ para todo $i$, se verifica que $S\subset\bigcap H_i$. Como la intersección de cualquier familia de subgrupos de $G$ es subgrupo de $G$ tenemos que $\bigcap H_i$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $S$.
   Si un subgrupo de $G$ contiene a $S$, éste será un $H_{j}$ de la familia $\{H_i\}$ y por tanto $\bigcap H_i\subset H_j$. Es decir, $\bigcap H_i$ es el menor de todos los subgrupos de $G$ que contienen a $S$ y por tanto $\langle S \rangle=\bigcap H_i$.
3. La operación $+$ de complejos es conmutativa. Los simétricos de $1$ e $i$ son respectivamente $-1$ y $-i$. De la definición de $\langle S\rangle$ deducimos inmediatamente que $\langle S\rangle=\{m+n i: m,n\in\mathbb{Z}\}.$ Es decir, $\langle S\rangle$ está formado por los elementos de $\mathbb{C}$ que tienen partes real e imaginaria enteras.
4. Sabemos que un grupo es cíclico si y sólo si está generado por un único elemento. Se verifica $(-1)^0=1,\;(-1)^1=-1.$ Es decir, $G=\{(-1)^n:n\in\mathbb{Z}\},$ lo cual implica que $G$ es cíclico y que $-1$ es un generador de $G.$
5. Se verifica $i^0=1,\;i^1=i,\;i^2=-1,\;i^3=-i.$ Es decir, $G=\{i^n:n\in\mathbb{Z}\},$ lo cual implica que $G$ es cíclico y que $i$ es uno de sus generadores. Fácilmente se comprueba que $-i$ es también generador de $G.$
6. Todo elemento $m\in\mathbb{Z}$ se puede escribir en la forma $m=m1,$ lo cual implica que $1$ es generador de $\mathbb{Z}.$
7. Sea $(G,\cdot)$ un grupo cíclico y sea $a\in G$ un generador de $G.$ Sean $x,y\in G,$ entonces $x=a^n$ e $y=a^m$ para ciertos enteros $n$ y $m.$ Se verifica:
   $$xy=a^na^m=a^{n+m}=a^{m+n}=a^ma^n=yx.$$
8. Sea $(G,\cdot)$ un grupo cíclico y sea $a$ un generador de $G.$ Sea $H$ un subgrupo de $G.$ Si $H=\{e\},$ entonces $H=\langle e\rangle,$ con lo cual $H$ es cíclico.Sea ahora $H\neq \{e\}.$ Como $H\subset G,$ entonces $a^k\in H$ para algún $k>0$ entero. Llamemos $m$ al menor de todos esos $k$ y sea $b=a^m.$
   Veamos que $H=\langle b\rangle,$ lo cual demostrará que $H$ es cíclico. Claramente $\langle b\rangle\subset H$, pues $b\in H$ y $H$ es subgrupo de $G.$
   Si $x\in H,$ entonces al ser $a$ generador de $H,$ $x$ es de la forma $x=a^n$ con $n$ entero. Efectuando la división euclídea de $n$ entre $m:$ $$n=mq+r\quad (0\leq r<m).$$ Entonces, $x=a^n=a^{mq+r}=a^{mq}a^r=b^qa^r.$ Pero $a^r=x(b^q)^{-1}$ pertenece a $H$ (pues $x$ y $b$ pertenecen al subgrupo $H$). Como $m$ es el mínimo de los enteros positivos $k$ que cumplen $a^k\in H,$ ha de ser necesariamente $r=0.$ Es decir, $x=b^q$ lo cual implica que $H\subset \langle b \rangle,$ y por tanto $H$ es cíclico.