Teorema de Poincaré-Bendixson

Enunciado
1. Enunciar el Teorema de Bendixson. Aplicarlo al sistema: $$ S:\;\;\left \{ \begin{matrix} x’_1=x_1-x_2-x_1^3\\ x’_2=x_1+x_2-x_2^3.\end{matrix}\right.$$ 2. Enunciar el Teorema de Poincaré.  Hallar los puntos de equilibrio de $S$  y aplicar dicho teorema a este sistema (puede ser útil dibujar las curvas  $x_1-x_2-x_1^3=0$  y  $x_1+x_2-x_2^3=0$).

3. Enunciar el Teorema de Poincaré-Bendixson. Demostrar que la corona circular  $1\leq x_1^2+x_2^2 \leq 2$  cumple las hipótesis de este teorema en relación al sistema  $S$. Concluir.

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
1. Enunciado del Teorema de Bendixson:

Sea  $M\subset \mathbb{R}^2$  abierto y  $v=(v_1,v_2):M\rightarrow{\mathbb{R}^2}$  un campo vectorial de clase  $r\;(r\geq 1)$  entonces, si  $\textrm{Div}(v)$  mantiene signo constante ($\neq 0$) en una región  $R\subset M$  simplemente conexa, el sistema  $x’=v(x)$  no tiene órbitas cerradas completamente contenidas en  $R$.

Para el sistema  $S$  tenemos: $$\textrm{Div}(v)=\dfrac{{\partial v_1}}{{\partial x_1}}+\dfrac{{\partial v_2}}{{\partial x_2}}=2-3x_1^2-3x_2^2$$ En la circunferencia  $2-3x_1^2-3x_2^2=0$  (centro el origen y radio  $\sqrt{2/3}$),  la divergencia del campo es nula, en su interior geométrico  $R$ (simplemente conexo) es postiva y en su exterior geométrico (no simplemente conexo) negativa. Podemos pues concluir que  $S$  no tiene órbitas cerradas completamente contenidas en  $R$.

2. Enunciado del Teorema de Poincaré:

Sea  $M\subset \mathbb{R}^2$  abierto y  $v=(v_1,v_2):M\rightarrow{\mathbb{R}^2}$  un campo vectorial de clase  $r\;(r\geq 1)$. Sea $\theta$  una órbita cerrada del sistema  $x’=v(x)$  cumpliendo que  $\textrm{Int}(\theta)\subset M$  (interior geométrico). Entonces, existe un punto de equilibrio $x^*$  del sistema tal que  $x^*\in \textrm{Int}(\theta)$.

Es claro que  $x^*=(0,0)$  es un punto de equilibrio del sistema. Para ver que no hay más, dibujaremos las gráficas que menciona el enunciado. Para  la función polinómica impar $x_2=x_1-x_1^3$  fácilmente obtenemos su gráfica:

Para $x_1+x_2-x_2^3=0$ dibujamos de manera análoga la de $x_2+x_1-x_1^3=0$ e intercambiamos los papeles de los ejes $x_1$ y $x_2$. Obtenemos la dos gráficas:

Se concluye pues que  $x^*=(0,0)$  es el único punto de equilibrio del sistema. Esto quiere decir que si existe una órbita cerrada del sistema, esta ha de contener en su interior geométrico al origen.

3. Enunciado del Teorema de Poincaré-Bendixson:

Sea  $M\subset \mathbb{R}^2$  abierto y  $v=(v_1,v_2):M\rightarrow{\mathbb{R}^2}$  un campo vectorial de clase  $r\;(r\geq 1)$. Sea  $F\subset M$  compacto y  $x_0\in F$. Sea además  $F$  positivamente invariante, es decir para todo  $y_0\in F $  la solución  $\varphi (t)$  de  $x’=v(x),\;x(0)=y_0$  cumple  $\varphi (t) \in F$  para todo  $t\geq 0$. Entonces, ocurre al menos una de las siguientes afirmaciones:

(i)  $x_0$ es punto de equilibrio.
(ii)  La solución  $\varphi (t)$  de  $x’=v(x)\;,x(0)=x_0$  cumple  $\displaystyle\lim_{t \to{+}\infty}{ \varphi (t)}=x^*\in F$  siendo  $x^*$  punto de equilibrio.
(iii)  La solución  $\varphi (t)$  de  $x’=v(x)\;,x(0)=x_0$  es periódica y la orbita cerrada correspondiente está contenida en  $F$.
(iv) La órbita que pasa por  $x_0$  se aproxima asintóticamente a una órbita cerrada contenida en  $F$.

En nuestro caso el conjunto  $F\equiv 1\leq x_1^2+x_2^2 \leq 2$  es cerrado y acotado, en consecuencia compacto. Veamos que es positivamente invariante. Para ello hallemos el producto escalar  $<x,v(x)>$  en la frontera de  $F$  para ver hacia donde está dirigido el vector campo. Usaremos coordenadas polares  $x_1= \rho \cos  \theta,\;x_2= \rho \sin  \theta :$ $$\langle x,v(x)\rangle=\langle (x_1,x_2),(x_1-x_2-x_1^3,x_1+x_2-x_2^3) \rangle$$ $$=x_1^2+x_2^2-(x_1^4+x_2^4)=\rho^2[1-\rho^2 (\cos^4 \theta+\rho^4 \sin^4 \theta)]$$ En la frontera de  $F$  tenemos: $$\rho=1\Rightarrow \langle x,v(x)\rangle=1-(\cos^4 \theta+\ \sin^4 \theta)\geq 0,$$ $$\rho=\sqrt{2}\Rightarrow <x,v(x)>=2[1-2(\cos^4 \theta+\ \sin^4 \theta)]\leq 0 .$$ Esto implica que en  $\rho=1$  el campo está dirigido hacia afuera y para  $\rho=\sqrt{2}$  hacia adentro. Esto significa que las órbitas rebotan en la frontera de $F$  hacia su interior:  $F$  es positivamente invariante. Dado que en  $F$  no existen puntos de equilibrio, concluimos del Teorema de Poincaré -Bendixson que el sistema tiene órbitas cerradas totalmente contenidas en  $F$.