Conmutador y subgrupo derivado

Estudiamos el conmutador de dos elementos de un grupo y el subgrupo derivado.

Enunciado
Dados dos elementos  $x,y$  pertenecientes a un grupo  $G$, se llama conmutador de los elementos dados y se representa por  $[x,y]$  al elemento de  $G$  definido por  $$[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy.$$ Demostrar que:
1. El inverso de un conmutador es un conmutador.
2. El conjugado de un conmutador es un conmutador.
3. El subgrupo de  $G$  engendrado por los conmutadores de todos los pares de elementos de  $G$  es normal (se denomina subgrupo derivado de  $G$  y se representa por  $D(G)$).
4. Una condición necesaria y suficiente para que  $G$  sea abeliano es que el subgrupo derivado se reduzca al elemento neutro, es decir  $D(G)=\{e\}$.

   (Prropuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. de Caminos, UPM).

Solución
1. Sea  $[x,y]$  un conmutador. Usando  $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$  y  $(a^{-1})^{-1}=a:$  $$[x,y]^{-1}=(x^{-1}y^{-1}xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}yx=[y,x].$$ Es decir,  $[x,y]^{-1}$  es un conmutador.
2. Sea  $[x,y]$  un conmutador. Veamos que  $g[x,y]g^{-1}$  es un conmutador para todo  $g\in G.$ En efecto: $$g[x,y]g^{-1}=g(x^{-1}y^{-1}xy)g^{-1}=gx^{-1} g^{-1}g y^{-1}g^{-1}gxg^{-1}gyg^{-1}$$ $$=(gxg^{-1})^{-1}(gyg^{-1})^{-1}(gxg^{-1})(gyg^{-1})=[gxg^{-1},gyg^{-1}].$$
3. Sean  $g\in G,\;h\in D(G)$, tenemos que demostrar que  $ghg^{-1}\in D(G)$. Todo elemento  $h$  de  $G$  es producto de conmutadores y de sus inversos. Por el apartado 1, el inverso de un conmutador es un conmutador, lo que implica que  $h=c_1\cdot c_2\ldots \cdot c_p$, siendo $c_1,c_2,\ldots ,c_p$  conmutadores. Tenemos: $$ghg^{-1}=g(c_1\cdot c_2 \cdot \ldots \cdot c_p)g^{-1}= (gc_1g^{-1})(gc_2g^{-1})\ldots (gc_pg^{-1}).$$ Ahora bien, por el apartado 2, los elementos  $c’_i=gc_ig^{-1}$  son conmutadores es decir,  $ghg^{-1}$  es producto de conmutadores y por tanto pertenece a  $D(G)$.
4. Sea  $G$  abeliano, entonces  para todo par de elementos  $x,y\in G$  se verifica: $$[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy=(x^{-1}x)(y^{-1}y)=ee=e,$$ lo cual implica que  $D(G)=\{e\}$.
   Sea  $D(G)=\{e\}$  y sean  $x,y\in G$. Entonces  $[x,y]\in D(G)$  es decir,  $x^{-1}y^{-1}xy=e$. Equivalentemente  $y^{-1}xy=x$  o bien  $yx=xy$  es decir,  $G$  es abeliano.