Derivada simétrica

Problema propuesto en examen de Álgebra, ETS de Ingenieros de Montes de la UPM.

Enunciado
Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función. Se define la derivada simétrica de $f$ en un punto $x_0$ y se designa por $f’_s(x_0)$, al siguiente límite si existe y es finito $$f’_s(x_0)=\displaystyle\lim_{h \to 0} \displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}.$$ $(a)$ Estudiar la existencia en el punto $x_0=0$ de la derivada simétrica, y calcularla en los casos que exista, para las siguientes funciones $$f_1(x)=e^x\;,\quad f_2(x)=|x|\;,\quad f_3(x)=\left \{ \begin{matrix} x\sin \displaystyle\frac{1}{x} & \mbox{ si }& x\neq 0\\0 & \mbox{si}& x=0.\end{matrix}\right.$$ $(b)$ Demostrar que si existe la derivada ordinaria $f'(x_0)$ de la función $f$ en el punto $x_0,$ entonces existe la derivada simétrica $f’_s(x_0),$ y hallar la relación entre ambas. Enunciar el recíproco y estudiar su validez, dando una demostración o construyendo un contraejemplo.
$(c)$ Demostrar que si existen las derivadas a la derecha y a la izquierda $f’_+(x_0)$ y  $f’_-(x_0)$ de la función $f$ en el punto $x_0,$ entonces existe la derivada simétrica $f’_s(x_0)$ y hallar la relación entre ambas. Enunciar el recíproco y estudiar su validez, dando una demostración o construyendo un contraejemplo.

Solución
$(a)$ Tenemos $$(f_1)’_s(0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{e^h-e^{-h}}{2h}=\left\{{\displaystyle\frac{0}{0}}\right\}=
\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{e^h+e^{-h}}{2}=1.$$ Hemos usado la regla de L’Hopital. $$(f_2)’_s(0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{|h|-|-h|}{2h}=
\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{0}{2h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}0=0.$$ $$(f_3)’_s(0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{h\sin \frac{1}{h}-(-h)\sin \left(-\frac{1}{h}\right)}{2h}=
\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{0}{2h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}0=0.$$ Hemos usado que el producto de un infinitésimo por una función acotada es también un infinitésimo. Podemos concluir que existen las derivadas simétricas de las tres funciones dadas en $x_0=0.$

$(b)$  Podemos expresar $$\displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=\displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0)+f(x_0)-f(x_0-h)}{2h}$$ $$=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}.$$ Tomando límites y teniendo en cuenta que existe $f'(x_0):$ $$f’_s(x_0)=\displaystyle\frac{1}{2}f'(x_0)+\displaystyle\frac{1}{2}f'(x_0)=f'(x_0).$$ Es decir, si existe la derivada ordinaria de una función en un punto, entonces existe también su derivada simétrica en dicho punto y ambas coinciden.

El enunciado recíproco es: Si existe la derivada simétrica $f’_s(x_0),$ entonces existe la derivada ordinaria $f'(x_0).$. Este enunciado es falso. En efecto, es bien sabido que para la función $f_2(x)=|x|$ no existe la derivada $f’_2(0),$ sin embargo existe $(f’_2)_s(0)$ como se demostró en el apartado anterior.

$(c)$ Por hipótesis existen $f’_+(x_0)$ y $f’_-(x_0).$ Veamos que existe $f’_s(x_0).$ Tenemos:

$$\displaystyle\lim_{h \to 0^+} \displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=\displaystyle\lim_{h \to 0^+} \displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0)+f(x_0)-f(x_0-h)}{2h}$$ $$=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\lim_{h\to 0^+}\displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\lim_{h\to 0^+}\displaystyle\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}=\displaystyle\frac{1}{2}f’_+(x_0)+\displaystyle\frac{1}{2}f’_-(x_0).$$ En la última igualdad hemos usado que $-h<0.$ Razonando de manera análoga obtenemos: $$\displaystyle\lim_{h \to 0^-} \displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=\ldots=\displaystyle\frac{1}{2}f’_-(x_0)+\displaystyle\frac{1}{2}f’_+(x_0).$$ Hemos demostrado por tanto que si existen $f’_+(x_0)$ y  $f’_-(x_0),$ entonces existe $f’_s(x_0)$ y además $f’_s(x_0)=(1/2)(f’_+(x_0)+f’_-(x_0)).$

El enunciado recíproco es: Si existe la derivada simétrica $f’_s(x_0),$ entonces existen las derivadas $f’_+(x_0)$ y $f’_-(x_0).$ Este enunciado es falso. En efecto, para la función $f_3(x)$ del apartado $(a)$ existe la derivada simétrica en $0$ según demostramos. Ahora bien, $$\displaystyle\frac{f_3(0+h)-f_3(0)}{h}=\displaystyle\frac{h\sin (1/h)-0}{h}=\sin (1/h).$$ Si $h\to 0^+$ entonces $1/h\to +\infty,$ por tanto no existe $(f’_3)_+(0).$