Desarrollo en serie de Laurent

Proporcionamos ejercicios de desarrollos en serie de Laurent.

Enunciado
1. Desarrollar en serie de Laurent la función $f(z)=\displaystyle\frac{1}{3z-7}$ en potencias enteras de $z.$
2. Desarrollar en serie de Laurent la función $f(z)=\displaystyle\frac{(4+i)z+3i-8}{z^2+z-6}$ en potencias enteras de $z.$
3. Desarrollar $f(z)=\displaystyle\frac{z}{(z+1)(z+2)}$ en una corona abierta de centro $z_0=-2.$
4. Desarrollar $f(z)=\dfrac{e^{2z}}{(z-1)^2}$ en una corona abierta de centro $z_0=1.$
5. Desarrollar $f(z)=\displaystyle\frac{1}{(z-3)^2}$ en un entorno de $z_0=\infty$.
6. Determinar los diferentes desarrollos en serie de Laurent en potencias de $z$ de la función $f(z) = \dfrac{1}{z(z-1)(z-2)}.$

Solución
1. La función es analítica en todo el plano complejo salvo en $z=7/3$. La función es pues analítica en las coronas abiertas $0<\left|z\right|<7/3$ y $7/3<\left|z\right|<+\infty$. Dividiendo el numerador y denominador de $f(z)$ entre $-7$ y usando la suma de la serie geométrica obtenemos: $$f(z)=\displaystyle\frac{-1}{7}\;\displaystyle\frac{1}{1-\frac{3}{7}z}=-\displaystyle\frac{1}{7}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\displaystyle\frac{3}{7}\right)^nz^n\quad (\;\left|3z/7\right|<1\;).$$ Tenemos por tanto los desarrollos $$f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}-\displaystyle\frac{3^n}{7^{n+1}}z^n\quad (\;0<\left|z\right|<7/3\;),$$ $$f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\displaystyle\frac{3^{n-1}}{7^{n}}\dfrac{1}{z^{n+1}}\quad (\;7/3<\left|z\right|<+\infty\;).$$
2. (Resolución esquemática) La función racional dada es analítica en todos los puntos del plano complejo salvo aquellos que anulan al denominador. Resolviendo $z^2+z-6=0$ obtenemos $z=2,\;z=-3$. La función es pues analítica en la tres coronas abiertas $$0<\left|z\right|<2\;,\quad 2<\left|z\right|<3\;,\quad 3<\left|z\right|<+\infty.$$ Descomponiendo en fracciones simples: $f(z)=\ldots=i\cdot \displaystyle\frac{1}{z-2}+4\cdot \displaystyle\frac{1}{z+3}$.
   Llamando $f_1(z)=\displaystyle\frac{1}{z-2}$, $f_2(z)=\displaystyle\frac{1}{z+3}$ y procediendo como en el ejemplo anterior obtendríamos desarrollos de Laurent $(I),\;(II),\;(III)$ y $(IV)$ : $$f_1(z)=\left \{ \begin{matrix}(I) & \mbox{ si }& 0<\left|z\right|<2\\(II) & \mbox{si}& 2<\left|z\right|<+\infty,\end{matrix}\right.$$ $$f_2(z)=\left \{ \begin{matrix} (III) & \mbox{ si }& 0<\left|z\right|<3\\(IV) & \mbox{si}& 3<\left|z\right|<+\infty.\end{matrix}\right.$$ Entonces, $$f(z)=\left \{ \begin{matrix}i(I)+4(III) &\mbox{ si }& 0<\left|z\right|<2\\i(II)+4(III) & \mbox{si}& 2<\left|z\right|<3\\i(II)+4(IV) & \mbox{si}& 3<\left|z\right|<+\infty.\end{matrix}\right.$$
3. Efectuando el cambio $u=z+2$ y usando la suma de la serie geométrica: $$f(z)=\displaystyle\frac{u-2}{(u-1)u}=\displaystyle\frac{u-2}{u}\cdot \displaystyle\frac{-1}{1-u}=\left(1-\displaystyle\frac{2}{u}\right)(-1-u-u^2-u^3-\ldots)$$ $$=\displaystyle\frac{2}{u}+1+u+u^2+u^3+\ldots\quad (|u|<1).$$ Por tanto podemos expresar $$f(z)=\displaystyle\frac{2}{z+2}+\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(z+2)^n\quad (0<\left|z+2\right|<1).$$
4. Efectuando el cambio $u=z-1$ y usando el desarrollo en serie de la función exponencial obtenemos para $u\neq 0$: $$f(z)=\displaystyle\frac{e^{2(u+1)}}{u^2}=\displaystyle\frac{e^2}{u^2}\cdot e^{2u}=\displaystyle\frac{e^2}{u^2}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\displaystyle\frac{2^nu^n}{n!}$$ $$=\displaystyle\frac{e^2}{u^2}+\displaystyle\frac{2e^2}{u}+\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\displaystyle\frac{e^22^{n}}{n!}u^{n-2}.$$ Podemos por tanto expresar $$f(z)=\displaystyle\frac{e^2}{(z-1)^2}+\displaystyle\frac{2e^2}{z-1}+\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\displaystyle\frac{e^22^{n+2}}{(n+2)!}(z-1)^n,\; (0<\left|z-1\right|<+\infty).$$
5. Un entorno de $\infty$ es una región de la forma $\left|z\right|>a.$ La función $f$ no es analítica exactamente en $z=3$, tenemos por tanto que desarrollar en la corona abierta $3<|z|<+\infty$. Consideremos la función $g(z)=1/(z-3)$. Entonces: $$g(z)=\displaystyle\frac{1}{z-3}=\displaystyle\frac{1}{z}\;\displaystyle\frac{1}{1-3/z}$$ $$=\displaystyle\frac{1}{z}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\displaystyle\frac{3^n}{z^n}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}3^nz^{-n-1}\;\;(\left|3/z\right|<1).$$ Derivando $$g'(z)=-\displaystyle\frac{1}{(z-3)^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-n-1)3^nz^{-n-2}\;\;(3<\left|z\right|)$$ Podemos por tanto expresar $$(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\displaystyle\frac{(n+1)3^n}{z^{n+2}},\quad (3<\left|z\right|<+\infty).$$
6. Descomponiendo en suma de fracciones simples obtenemos $$f(z)=\frac{1/2}{z}-\frac{1}{z-1}+\frac{1/2}{z-2},$$
   o bien $$f(z)=\frac{1}{2z}+\frac{1}{1-z} -\frac{1}{4}\frac{1}{1-z/2}.$$ Denotemos $$f_1(z)=\dfrac{1}{z},\quad f_2(z)=\dfrac{1}{1-z},\quad f_3(z)=\dfrac{1}{1-z/2},$$ por tanto $$f(z)=\frac{1}{2}f_1(z)+f_2(z)-\frac{1}{4}f_3(z).$$ Usando el conocido teorema acerca de la serie geométrica $$f_1(z)=\frac{1}{z}\quad (|z|>0)$$ $$f_2(z)=\dfrac{1}{1-z}=\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}z^n\quad (0<|z|<1)\quad (S_1)\\-\dfrac{1}{z}\dfrac{1}{1-1/z}=-\displaystyle\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{z^{n}}=- \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{z^{n+1}}\quad (1<|z|)\quad (S_2)\end{matrix}\right.$$ $$f_3(z)=\dfrac{1}{1-z/2}=\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{2^n}\quad (0<|z|<2)\quad (S_3)\\-\dfrac{2}{z}\dfrac{1}{1-2/z}=-\displaystyle\frac{2}{z}\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2z)^{n}}=- \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{2^{n-1}z^{n+1}}\quad (2<|z|)\quad (S_4)\end{matrix}\right.$$ Es decir, $$f(z)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{1}{2z}+S_1-\dfrac{1}{4}S_3 &\text{si}& 0<|z|<1\\\dfrac{1}{2z}+S_2-\dfrac{1}{4}S_3 &\text{si}& 1<|z|<2\\ \dfrac{1}{2z}+S_2-\dfrac{1}{4}S_4 &\text{si}& 2<|z|<+\infty \end{matrix}\right.$$