Homomorfismos de grupos

Proporcionamos ejercicios sobre homomorfismos de grupos.

Enunciado
1. Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $f(x)=ax$ con $a\in\mathbb{R}$ fijo es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{R},+).$
2. Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $f(x)=a^x$ con $a>0$ real fijo es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{R}-\{0\},\cdot).$
3. Se considera la aplicación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=a+x$ con $a$ número real fijo. Analizar si $f$ es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{R},+).$
4. Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Se considera la aplicación $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=\log x.$ Demostrar que $f$ es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R}^+,\cdot)$ y $(\mathbb{R},+).$
5. Sea $f:G\to G’$ un homomorfismo entre los grupos $(G,\cdot)$ y $(G’,\cdot).$ Sea $e$ el neutro de $G$ y $e’$ el neutro de $G’.$ Demostrar que,
   $(i)$ $f(e)=e’.$
   $(ii)$ Para todo $x\in G$ se verifica $f(x^{-1})=(f(x))^{-1}.$
6. Demostrar que la composición de homomorfismos de grupos es un homomorfismo.
7. Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. En $G=\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+$ se define la operación $(x,y)*(z,u)=(xz,yu).$
   $(i)$ Demostrar que $(G,*)$ es grupo abeliano.
   $(ii)$ Demostrar que la aplicación: $f:G\to \mathbb{R},$ $f(x,y)=\log (xy)$ es homomorfismo entre los grupos $(G,*)$ y $(\mathbb{R},+).$

Solución
1. En efecto, para todo $x,y\in \mathbb{R}$ se verifica:$$f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x)+f(y).$$
2. En efecto, para todo $x,y\in \mathbb{R}$ se verifica: $$f(x+y)=a^{x+y}=a^xa^y=f(x)\cdot f(y).$$
3. Tenemos que analizar si se verifica $f(x+y)=f(x)+f(y)$ para todo $x,y$ elementos de $\mathbb{R}.$ Tenemos: $$f(x+y)=a+(x+y),\quad f(x)+f(y)=(a+x)+(a+y).$$ Ahora bien, $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $\Leftrightarrow$ $a+x+y=2a+x+y$ $\Leftrightarrow a=2a$ $\Leftrightarrow$ $a=0.$ Es decir, $f$ es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{R},+),$ si y sólo si $a=0.$
4. Para todo $x,y$ elementos de $\mathbb{R}^+$ se verifica: $$f(xy)=\log (xy)=\log x+\log y=f(x)+f(y),$$ es decir $f$ es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R}^+,\cdot)$ y $(\mathbb{R},+).$
5. $(i)$ Elijamos un $x\in G$ cualquiera. Tenemos $f(x)=f(xe)=f(x)f(e).$ Esto implica que $f(x)\;e’=f(x)f(e).$ Como todos los elementos de un grupo son regulares, se deduce que $f(e)=e’.$$(ii)$ Para todo $x\in G,$ se verifica $e’=f(e)=f(xx^{-1})=f(x)f(x^{-1}).$ Es decir, el inverso de $f(x)$ es $f(x^{-1}),$ que equivale a escribir $(f(x))^{-1}=f(x^{-1}).$
6. Sean $(G,\cdot),$ $(G’,\cdot),$ $(G»,\cdot)$ tres grupos y $f:G\to G’,$ $g:G’\to G»$ homomorfismos. Entonces, para todo $x,y$ elementos de $G:$ $$(g\circ f)(xy)=g[f(xy)]=g[f(x)\;f(y)]$$ $$=g[f(x)]\;g[f(y)]=[(g\circ f)(x)]\;[(g\circ f)(y)],$$ es decir $g\circ f$ es homomorfismo entre los grupos $(G,\cdot)$ y $(G»,\cdot).$
7. $(i)$ Interna. Se verifica pues el producto de números reales positivos es un número real positivo.
   Asociativa. Para todo $(x,y),(z,u), (v,w)$ elementos de $G$ se verifica: $$(x,y)*[(z,u)* (v,w)]=(x,y)*(zv,uw)=\left(x(zv),y(uw)\right)$$ $$=\left((xz)v,(yu)w\right) =(xz,yu)*(v,w)=[(x,y)*(z,u)]*(u,v).$$ Conmutativa. Para todo $(x,y),(z,u)$ elementos de $G$ se verifica: $$(x,y)*(z,u)=(xz,yu)=(zx,uy)=(z,u)*(x,y).$$ Elemento neutro. Para todo $(x,y)\in G$ se verifica $(x,y)*(1,1)=(x,y),$ por tanto $(1,1)\in G$ es elemento neutro.
   Elemento simétrico. Para todo $(x,y)\in G$ se verifica $(x,y)*(1/x,1/y)=(1,1),$ por tanto $(1/x,1/y)\in G$ es elemento simétrico de $(x,y)$. Concluimos que $(G,*)$ es grupo abeliano.

   $(ii)$ Para todo $(x,y),(z,u)$ elementos de $G$ se verifica: $$\begin{aligned}&f\left[(x,y)*(z,u)\right]=f(xz,yu)=\log (xzyu)\\
   &=\log(xy)+\log (zu)=f(x,y)+f(z,u),\end{aligned}$$ lo cual implica que $f$ es homomorfismo entre los grupos $(G,*)$ y $(\mathbb{R},+).$