Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos

Proporcionamos ejercicios sobre núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos.

Enunciado
1. Sea $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ el grupo multiplicativo de los números reales no nulos. Demostrar que $f:\mathbb{R}^*\to \mathbb{R}^*,\;f(x)=x^2$ es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ y $(\mathbb{R}^*,\cdot).$ Determinar $\ker f$ e $\operatorname{Im}f.$
2. Sea $f:G\to G’$ un homomorfismo entre los grupos $(G,\cdot)$ y $(G’,\cdot).$ Demostrar que $\ker f$ es subgrupo normal de $G.$
3. Sea $f:G\to G’$ un homomorfismo entre los grupos $(G,\cdot)$ y $(G’,\cdot).$ Demostrar que $\operatorname{Im}f$ es subgrupo de $G’.$

Solución
1. Para todo $x,y\in \mathbb{R}^*,$ se verifica $f(xy)=(xy)^2=x^2y^2=f(x)f(y),$ por tanto, $f$ es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ y $(\mathbb{R}^*,\cdot).$ El elemento neutro del grupo dado es el número real $1,$ en consecuencia: $$\ker f=\{x\in \mathbb {R}^*:f(x)=1\}=\{x\in \mathbb {R}^*:x^2=1\}=\{-1,1\}.$$ Si un elemento $x’$ pertenece a $\operatorname{Im}f$ entonces, $x’=f(x)=x^2$ para cierto $x\in\mathbb{R}^*,$ lo cual implica que $x’>0$ y por tanto $\operatorname{Im}f\subset (0,+\infty).$ Recíprocamente, sea $x’\in (0,+\infty).$ Entonces, $x’=f(\sqrt{x’})$ siendo $\sqrt{x’}\in\mathbb{R}^*,$ luego $(0,+\infty)\subset \operatorname{Im}f.$ Es decir, $\operatorname{Im}f=(0,+\infty).$
2. Sabemos que si $f:G\to G’$ es un homomorfismo de grupos, entonces $f(e)=e’,$ siendo $e$ y $e’$ los elementos neutros de $G$ y $G’$ respectivamente, por tanto $e\in\ker f.$ Si $x,y\in \ker f,$ entonces, $f(x)=f(y)=e’.$ Usando que el transformado del inverso es el inverso del transformado: $$\begin{aligned}&f(xy^{-1})=f(x)f(y^{-1})=f(x)(f(y))^{-1}\\&=e'(e’)^{-1}=e’e’=e’\Rightarrow xy^{-1}\in \ker f.\end{aligned}$$ Por el teorema de caracterización de subgrupos, deducimos que $\ker f$ es subgrupo de $G.$ Veamos ahora que $\ker f$ es normal. En efecto, Para todo $g\in G$ y para todo $h\in\ker f:$
   $$\begin{aligned}&f(ghg^{-1})=f(g)f(h)f(g^{-1})=f(g)e'(f(g))^{-1}\\
   &=f(g)(f(g))^{-1}=e’\Rightarrow ghg^{-1}\in \ker f,\end{aligned}$$
   es decir $\ker f$ es normal.
3. Sabemos que si $f:G\to G’$ es un homomorfismo de grupos, entonces $f(e)=e’,$ siendo $e$ y $e’$ los elementos neutros de $G$ y $G’$ respectivamente, por tanto $e’\in\operatorname{Im}f.$ Si $x’,y’\in \operatorname{Im}f,$ entonces, $x’=f(x)$ e $y’=f(y)$ para ciertos $x,y\in G.$ Usando que el transformado del inverso es el inverso del transformado:
   $$\begin{aligned}&x'(y’)^{-1}=f(x)(f(y))^{-1}=f(x)f(y^{-1})\\&=f(xy^{-1})\Rightarrow x'(y’)^{-1}\in\operatorname{Im}f.\end{aligned}$$ Por el teorema de caracterización de subgrupos, deducimos que $\operatorname{Im}f$ es subgrupo de $G’.$