Grupo de aplicaciones afines

En este problema estudiamos un  grupo de aplicaciones afines.

Enunciado
Sea $C$ el conjunto de las aplicaciones $f_{ab}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definidas por $f_{ab}(x)=ax+b,$ con $ a, b$ números reales. Determinar una condición necesaria y suficiente que han de satisfacer los coeficientes $a$ y $b$ para que $C$ sea grupo respecto de la composición de aplicaciones. Comprobar que en este caso en efecto $C$ es grupo. ¿ Es abeliano?

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. de Montes, UPM).

Solución
Para todo par de elementos $f_{ab}$ y $f_{cd}$ de $C$ se verifica $$\displaystyle\begin{aligned}
&(f_{ab}\circ f_{cd})(x)=f_{ab}[f_{cd}(x)]=f_{ab}(cx+d)\\
&=a(cx+d)+b=acx+ad+b=f_{ac,ad+b}(x),
\end{aligned}$$ es decir la operación composición es interna en $C.$ También es asociativa por una conocida propiedad. La aplicación $f_{1,0}(x)=x$ es la aplicación identidad en $C$ y por tanto elemento neutro para la composición. Es decir, $(C,\circ)$ es un semigrupo con elemento neutro sin ninguna restricción para $a,b$ reales. Un elemento $f_{ab}$ tiene elemento simétrico $f_{a’b’}$ en $(C,\circ)$ si y sólo si $$f_{ab}\circ f_{a’b’}=f_{a’b’}\circ f_{ab}=f_{1,0},$$ o de forma equivalente, si y sólo si $$\left \{ \begin{matrix} aa’=1\\ab’+b=0\end{matrix}\right.\;\;\wedge\;\;\left \{ \begin{matrix} a’a=1\\a’b+b’=0.\end{matrix}\right.$$ Para que exista $a’$ ha de ser necesariamente $a\neq 0$ y en este caso $a’=1/a.$ La relación $ab’+b=0$ se cumple para $b’=-b/a.$ Además, en este caso se verifica la relación $a’b+b’=(1/a)b-b/a=0.$ Hemos demostrado que una condición necesaria para que $(C,\circ)$ sea grupo es que $a\neq 0.$ Esta condición es también suficiente, pues la operación $\circ$ en $$C_1=\{f_{ab}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}:a\in\mathbb{R}-\{0\},b\in\mathbb{R}\}$$ es claramente interna, asociativa, tiene elemento neutro $f_{1,0}\in C_1$ y todo $f_{ab}\in C_1$ tiene elemento simétrico $f_{1/a, -b/a}\in C_1.$ Este grupo no es conmutativo pues eligiendo (por ejemplo) los elementos $f_{12},f_{20}$ de $C_1:$ $$\left \{ \begin{matrix} f_{12}\circ f_{20}=f_{2,2}\\f_{20}\circ f_{12}=f_{2,4}\end{matrix}\right.\Rightarrow f_{12}\circ f_{20}\neq f_{20}\circ f_{12}.$$