Series complejas: criterios de la raíz y del cociente

Aplicamos los criterios de la raíz y del cociente al estudio de la convergencia de series complejas.

RESUMEN TEÓRICO
  • Definición.  Se dice que la serie de números complejos $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ es absolutamente convergente si la serie $\left|u_1\right|+\left|u_2\right|+\cdots+\left|u_n\right|+\cdots$ es convergente.
  • Teorema.  Toda serie absolutamente convergente es convergente.
    Sin embargo, el recíproco no es cierto. Veremos que existen series convergentes que no son absolutamente convergentes.
  • Teorema  (Criterio dela raíz).  Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie compleja. Supongamos que $\sqrt[n]{\left|u_n\right|}$ tiene límite $L.$ Entonces:
    $i)$ Si $L<1,$ la serie es absolutamente convergente.
    $ii)$ Si $L>1,$ la serie es divergente.
    $iii)$ Si $L=1,$ el criterio no decide.
  • Teorema  (Criterio del cociente).  Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie compleja. Supongamos que $\left|u_{n+1}/u_n\right|$ tiene límite $L.$ Entonces:
    $i)$ Si $L<1,$ la serie es absolutamente convergente.
    $ii)$ Si $L>1,$ la serie es divergente.
    $iii)$ Si $L=1,$ el criterio no decide.
    Enunciado
  1. Demostrar que toda serie absolutamente convergente es convergente.
  2. Demostrar que no toda serie convergente es absolutamente convergente.
  3. Demostrar el criterio de la raíz:
    Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie compleja. Supongamos que $\sqrt[n]{\left|u_n\right|}$ tiene límite $L.$ Entonces:
    $i)$ Si $L<1,$ la serie es absolutamente convergente.
    $ii)$ Si $L>1,$ la serie es divergente.
    $iii)$ Si $L=1,$ el criterio no decide.
  4. Demostrar el criterio del cociente :
    Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie compleja. Supongamos que $\left|u_{n+1}/u_n\right|$ tiene límite $L.$ Entonces:
    $i)$ Si $L<1,$ la serie es absolutamente convergente.
    $ii)$ Si $L>1,$ la serie es divergente.
    $iii)$ Si $L=1,$ el criterio no decide.
  5. Estudiar la convergencia absoluta de las series: $$a)\;\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(1+i)^nn}{2^n}.\quad b)\;\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\operatorname{sen}in}{3^n}.\quad c)\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(z-2)^n}.$$
  6. Estudiar las regiones de convergencia absoluta de las series $$a)\;\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(z+1)^n}.\quad b)\;\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n2^n}{(z-3i)^{2n}}. $$ Nota. No se pide analizar los casos dudosos.
  7. Estudiar las regiones de convergencia absoluta de las series $$a)\;\sum_{n=1}^{+\infty}\sqrt{n}e^{-nz}.\quad b)\;\sum_{n=1}^{+\infty}ne^{nz}. $$ Nota. No se pide analizar los casos dudosos.
    Solución
  1. Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ absolutamente convergente. Sea $\epsilon>0.$ Por el criterio de Cauchy para series, existe $n_0$ natural tal que $$n\geq m\geq n_0\Rightarrow \left|\;\left|u_n\right|+\left|u_{n+1}\right|+\cdots+\left|u_m\right|\;\right|$$ $$=\left|u_n\right|+\left|u_{n+1}\right|+\cdots+\left|u_m\right|<\epsilon.$$ Pero $\left|u_n+u_{n+1}+\cdots+u_m\right|\leq \left|u_n\right|+\left|u_{n+1}\right|+\cdots+\left|u_m\right|,$ lo cual implica, de nuevo por el criterio de Cauchy, que la serie $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ es convergente.
  2. Consideremos las serie real (y por tanto compleja): $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}.$$ Sabemos por teoría de series reales que es convergente pero no absolutamente convergente.
  3. $i)$ Como $L<1,$ consideremos un número $r$ tal que $L<r<1.$ Por definición de límite, para $n$ suficientemente grande se verifica $\sqrt[n]{\left|u_n\right|}<r,$ o de forma equivalente $\left|u_n\right|<r^n.$ Como la serie de término general $r^n$ es convergente (geométrica de razón un número en módulo menor que $1$), se deduce que la serie de término general $\left|u_n\right|$ es convergente.
    $ii)$ Si $L>1,$ por definición de límite se verifica para $n$ suficientemente grande $\sqrt[n]{\left|u_n\right|}>1,$ o de forma equivalente $\left|u_n\right|>1.$ El límite de $u_n$ no tiende a $0,$ luego la serie es divergente.
    $iii)$ Elijamos las series reales (y por tanto complejas): $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n},\quad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}.$$ Para la primera serie tenemos $$L=\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{1/n}$$ $$=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^{1/n}}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=\frac{1}{1}=1,$$ y para la segunda $$L=\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{2n}\right)^{1/n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{2^{1/n}n^{1/n}}$$ $$=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{2^{1/n}}\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=\frac{1}{2^0}\cdot 1=1.$$ Sabemos por teoría de series reales que la primera es divergente y la segunda convergente. Esto demuestra que el criterio de la raíz no decide sobre el carácter de la serie si $L=1.$
  4. $i)$ Como $L<1,$ consideremos un número $r$ tal que $L<r<1.$ Por definición de límite, para $n$ suficientemente grande se verifica $\left|u_{n+1}/u_n\right|<r.$ Si pérdida de generalidad, podemos suprimir un número finito de términos de la serie de tal manera que se verifique $\left|u_{n+1}/u_n\right|<r$ para todo $n.$ Tenemos pues $$\left|u_n\right|=\left|\frac{u_{n}}{u_{n-1}}\right|\cdot \left|\frac{u_{n-1}}{u_{n-2}}\right|\cdot\left|\frac{u_{n-2}}{u_{n-3}}\right|\cdot\ldots \cdot \left|\frac{u_{2}}{u_{1}}\right|\cdot\left|u_1\right|<\left|u_1\right|r^{n-1}.$$ Como $r$ tiene valor absoluto menor que $1,$ la serie de término general $\left|u_1\right|r^{n-1}$ es convergente (álgebra de series y teorema de convergencia de la serie geométrica). Por el criterio de comparación, la serie de término general $\left|u_n\right|$ es convergente.
    $ii)$ Si $L>1,$ entonces para $n$ suficientemente grande se verifica $\left|u_{n+1}/u_n\right|>1,$ o de forma equivalente $\left|u_{n+1}\right|>\left|u_n\right|,$ luego el término general $u_n$ no tiende a $0$ y como consecuencia la serie es divergente.
    $(iii)$ Consideremos las series reales (y por tanto complejas): $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n},\quad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}.$$ En ambos casos, $L=1,$ la primera es divergente y la segunda convergente, según conocidos resultados de series reales.
  5. $a)$ Usando el criterio del cociente: $$L=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{(1+i)^{n+1}(n+1)}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{(1+i)^nn}\right|$$ $$=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{1+i}{2}\cdot\frac{n+1}{n}\right|=\left|\frac{1+i}{2}\right|\cdot \left|1\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}<1,$$ por tanto la serie es absolutamente convergente.
    $(b)$ Usando el criterio del cociente: $$L=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{\operatorname{sen}i(n+1)}{3^{n+1}}\cdot\frac{3^n}{\operatorname{sen}in}\right|$$ $$=\frac{1}{3}\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{\operatorname{sen}i(n+1)}{\operatorname{sen}in}\right|=\frac{1}{3}\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{e^{-n-1}-e^{n+1}}{e^{-n}-e^n}\right|.$$ Dividiendo numerador y denominador entre $e^{n+1}:$ $$L=\frac{1}{3}\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{e^{-2n-2}-1}{e^{-2n-1}-1/e}\right|=\frac{e}{3}<1,$$ por tanto la serie es absolutamente convergente.
    $(c)$ Usando el criterio de la raíz: $$L=\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}=\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{\left|z-2\right|^n}}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\left|z-2\right|}=\frac{1}{\left|z-2\right|}.$$ Entonces, $$\frac{1}{\left|z-2\right|}<1\Leftrightarrow 1<\left|z-2\right|.$$ Por tanto, si $1<\left|z-2\right|$ la serie es absolutamente convergente, si $1>\left|z-2\right|$ es divergente, y si $\left|z-2\right|=1$ también es divergente según el conocido resultado acerca de las series geométricas.
  6. $a)$ Aplicando el criterio del cociente: $$L=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{1}{(n+1)(z+1)^{n+1}}\cdot n(z+1)^n\right|=\frac{1}{\left|z+1\right|}\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n+1}$$ $$=\frac{1}{\left|z+1\right|}<1\Leftrightarrow 1<\left|z+1\right|.$$ $b)$ De manera análoga: $$L=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{(n+1)2^{n+1}}{(z-3i)^{2n+2}}\cdot \frac{(z-3i)^{2n}}{n2^n}\right|=\frac{1}{\left|z-3i\right|^2}\lim_{n\to +\infty}\frac{2(n+1)}{n}$$ $$=\frac{2}{\left|z-3i\right|^2}<1\Leftrightarrow \sqrt{2}<\left|z-3i\right|.$$
  7. $a)$ Aplicando el criterio del cociente: $$L=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{\sqrt{n+1}e^{-(n+1)z}}{\sqrt{n}e^{-nz}}\right|=\frac{1}{\left|e^z\right|}\lim_{n\to +\infty}\sqrt{\frac{n+1}{n}} =\frac{1}{\left|e^z\right|}<1$$ $$\Leftrightarrow 1<\left|e^z\right|\Leftrightarrow 1<\left|e^{x+iy}\right|\Leftrightarrow 1<e^x\Leftrightarrow x>0\Leftrightarrow \operatorname{Re}z>0.$$ $b)$ De manera análoga: $$L=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{(n+1)e^{(n+1)z}}{ne^{nz}}\right|=\left|e^z\right|\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{n} =\left|e^z\right|<1$$ $$\Leftrightarrow \left|e^{x+iy}\right|<1\Leftrightarrow e^x<1\Leftrightarrow x<0\Leftrightarrow \operatorname{Re}z<0.$$
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