Ecuación diferencial de Bernoulli

Proporcionamos ejercicios sobre la ecuación diferencial de Bernoulli.

Enunciado
1. Resolver la ecuación diferencial $xy’=y+2xy^2.$
2. Demostrar que la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación lineal mediante la sustitución $v=y^{1-n}.$
3. Resolver la ecuación diferencial $x^3y’=2x^2y+y^3.$

Solución
1. Dividiendo entre $x$ obtenemos $$y’-\frac{1}{x}y=2y^2,\text{ o bien }y^{-2}y’-\frac{1}{x}y^{-1}=2,$$ que es una ecuación de Bernoulli. Efectuando el cambio $v=y^{-1}$ queda $v’=-y^{-2}y’,$ por tanto la ecuación se transforma en $$-v’-\frac{1}{x}v=2,\text{ o bien }v’+\frac{1}{x}v=-2.$$ Usando la fórmula de la solución general de la ecuación lineal: $$ve^{\int (1/x)\;dx}+2\int e^{\int (1/x)\;dx}dx=C,$$ $$ve^{\log \left|x\right|}+2\int e^{\log \left|x\right|}dx=C,$$ $$vx+2\int x\:dx=C,\;vx+x^2=C.$$ Sustituyendo $v=1/y$ obtenemos $$\frac{x}{y}+x^2=C, \text{ o bien }y=\frac{x}{C-x^2},$$ que es la solución general de la ecuación dada.
2. Dividiendo la ecuación de Bernoulli $y’ + py = q y^n$ entre $y^n:$ $$y^{-n}y’+py^{1-n}=q.\qquad (1)$$ Derivando respecto de $x$ la igualdad $v=y^{1-n}:$ $$v’=(1-n)y^{-n}y’.\qquad (2)$$ Sustituyendo $(2)$ en $(1)$ queda: $$\frac{v’}{1-n}+pv=q,\text{ o bien }v’+(1-n)pv=(1-n)q,$$ que es una ecuación lineal en $v.$
3. Dividiendo entre $x^3:$ $$y’-\frac{2}{x}y=\frac{1}{x^3}y^3,\text{ o bien }, y^{-3}y’-\frac{2}{x}y^{-2}=\frac{1}{x^3}$$ es decir, es una ecuación de Bernoulli. Efectuando el cambio $v=y^{-2}$ queda $v’=-2y^{-3}y’,$ por tanto la ecuación se transforma en $$\dfrac{v’}{-2}-\frac{2}{x}v=\frac{1}{x^3},\text{ o bien }v’+\frac{4}{x}v=-\frac{2}{x^3}.$$ Usando la fórmula de la solución general de la ecuación lineal: $$ve^{\int (4/x)\;dx}-\int -\frac{2}{x^3}e^{\int (4/x)\;dx}dx=C,$$ $$ve^{4\log \left|x\right|}+2\int \frac{e^{4\log \left|x\right|}}{x^3}dx=C,$$ $$vx^4+2\int x\:dx=C,\;vx^4+x^2=C.$$ Sustituyendo $v=1/y^2$ obtenemos $$\frac{x^4}{y^2}+x^2=C, \text{ o bien }x^4=y^2(C-x^2),$$ que es la solución general de la ecuación dada.