Series complejas enteras, radio de convergencia

Proporcionamos ejercicios sobre series complejas enteras y radio de convergencia.

Enunciado
1. Sea la serie entera compleja $\sum_{n\geq 0}a_nz^n.$ Demostrar que si converge para $z=z_0\neq 0,$ entonces converge para todo $z$ tal que $\left |z\right|<\left| z_0\right|.$
2. Sea la serie entera compleja $\sum_{n\geq 0}a_nz^n.$ Demostrar que existe un único $\rho\in [0,+\infty]$ tal que:
   $i)$ Si $\left|z\right|<\rho$ la serie es absolutamente convergente.
   $ii)$ Si $\left|z\right|>\rho$ la serie es divergente.
   A $\rho$ se le llama radio de convergencia de la serie entera dada, y al círculo abierto $\left|z\right|<\rho,$ círculo o disco de convergencia.
3. Generalizar el resultado del problema anterior para la serie entera compleja $\sum_{n\geq 0}a_n(z-z_0)^n.$
4. Hallar los radios de convergencia de las series enteras o de potencias $$a)\;\sum_{n=1}^{+\infty}e^{in}z^n.\quad b)\;\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{z}{1-i}\right)^n.$$
5. Hallar el radio de convergencia de la serie de potencias $$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(z-1)^n}{n^22^n}.$$

Solución
1. Si la serie converge para $z=z_0,$ entonces $a_nz_0^n\to 0,$ lo cual implica que existe $K\geq 0$ tal que $\left|a_nz_0^n\right|\leq K$ para todo $n.$ Entonces, si $\left |z\right|<\left| z_0\right|:$ $$\left|a_nz^n\right|=\left|a_nz_0^n\right|\left|\frac{z}{z_0}\right|^n\leq K\left|\frac{z}{z_0}\right|^n.$$ La serie de término general $\left|z/z_0\right|^n$ es geométrica de razón menor que $1,$ luego es convergente. Por el teorema del álgebra de series también lo es la de término general $K\left|z/z_0\right|^n$ y por el criterio de la mayorante, también lo es $\sum_{n\geq 0}\left|a_nz^n\right|.$
2. Existencia de $\rho.$ Llamemos $$S=\{z\in\mathbb{C}:\sum_{n\geq 0}a_nz^n \text{ converge}\},\quad S’=\{\left|z\right|:z\in S\}.$$ Como $0\in S,$ también $0\in S’$ es decir $S’\neq \emptyset.$ Llamemos $\rho=\sup S’$ (será finito o infinito). Sea $z$ tal que $\left|z\right|<\rho,$ entonces $\left|z\right|$ no es cota superior de $S’$ lo cual implica que existe $z_0\in S$ con $\left|z\right|<\left|z_0\right|.$ Por el problema anterior, la serie converge absolutamente en $z.$
   Sea $z$ tal que $\left|z\right|>\rho.$ Si la serie fuera convergente en $z,$ entonces $z\in S$ con lo cual $\left|z\right|\in S’$ y $\rho$ no sería cota superior de $S’$ (absurdo).
   Unicidad de $\rho.$ Si existieran dos $\rho<\rho’$ cumpliendo las condiciones $i)$ y $ii),$ elijamos $z$ tal que $\rho<\left|z\right|<\rho’.$ Entonces la serie sería a la vez absolutamente convergente y divergente en $z$ (absurdo).
3. Llamando $w=z-z_0$ obtenemos la serie $\sum_{n\geq 0}a_nw^n.$ Existe por tanto un único $\rho\in [0,+\infty]$ tal que:
   $i)$ Si $\left|w\right|<\rho$ la serie es absolutamente convergente.
   $ii)$ Si $\left|w\right|>\rho$ la serie es divergente.
   o bien, existe por tanto un único $\rho\in [0,+\infty]$ tal que:
   $i)$ Si $\left|z-z_0\right|<\rho$ la serie es absolutamente convergente.
   $ii)$ Si $\left|z-z_0\right|>\rho$ la serie es divergente.
   Nota. Mantenemos las definiciones: a $\rho$ se le llama radio de convergencia de la serie entera dada, y al círculo abierto $\left|z-z_0\right|<\rho,$ círculo o disco de convergencia.
4. $a)$ La serie es $\sum_{n=1}^{+\infty}\left(e^{i}z\right)^n$ (geométrica). Es absolutamente convergente si y sólo si $\left|e^iz\right|=\left|e^i\right|\left|z\right|=1\cdot \left|z\right|=\left|z\right|<1,$ por tanto el radio de convergencia es $R=1.$
   $b)$ La serie es geométrica. Es absolutamente convergente si y sólo si $$\left|\frac{z}{1-i}\right|=\frac{\left|z\right|}{\sqrt{2}}<1,\text{ o bien }\left|z\right|<\sqrt{2}$$ por tanto el radio de convergencia es $R=\sqrt{2}.$
5. Aplicando el criterio del cociente: $$L=\lim_{n\to +\infty}\left| \frac{(z-1)^{n+1}}{(n+1)^22^{n+1}}\cdot\frac{n^22^n}{(z-1)^n}\right|=\frac{\left|z-1\right|}{2}\lim_{n\to +\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}$$ $$=\frac{\left|z-1\right|}{2}<1\Leftrightarrow \left|z-1\right|<2.$$ Si $\left|z-1\right|<2$ la serie es absolutamente convergente y si $\left|z-1\right|>2,$ divergente. Su radio de convergencia es por tanto $R=2.$