Ecuación diferencial con paso a polares

Resolvemos una ecuación diferencial mediante un cambio a coordenadas polares.

Enunciado
1. Expresar $xdx+ydy$ y $xdy-ydx$ en coordenadas polares.
2. Como aplicación, resolver la ecuación $$(x^2+y^2)(xdx+ydy)+(x^2+y^2-2x+2y).$$

Solución
1. De las relaciones $x=\rho \cos \theta,\;y=\rho \operatorname{sen}\theta$ deducimos $$xdx+ydy=\rho \cos\theta(\cos \theta d\rho-\rho\operatorname{sen}\theta d\theta)+\rho \operatorname{sen}\theta(\operatorname{sen}\theta d\rho+\rho\cos\theta d\theta)=$$ $$\rho(\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta)d\rho+\rho^2(-\cos \theta\operatorname{sen}\theta+\operatorname{sen}\theta \cos\theta)d\theta=\rho\; d\rho.$$ $$xdy-ydx=\rho \cos\theta (\operatorname{sen}\theta d\rho+\rho\cos\theta d\theta)-\rho\operatorname{sen}\theta(\cos \theta d\rho-\rho\operatorname{sen}\theta d\theta)=$$ $$\rho(\cos \theta\operatorname{sen}\theta-\operatorname{sen}\theta \cos\theta)d\rho+\rho^2 (\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta)d\theta=\rho^2 d\theta.$$
2. Usando el apartado anterior, la ecuación diferencial dada se transforma en $$\rho^3 d\rho+(\rho^2-2\rho \cos \theta+2\rho \operatorname{sen}\theta)\rho^2 d\theta=0.$$ Dividiendo entre $\rho^3$, podemos expresar la ecuación anterior en la forma $$\dfrac{d\rho}{d\theta}-\rho=2(\operatorname{sen}\theta-\cos\theta).$$ Esta ecuación es del tipo $\rho’+p(\theta)\rho=q(\theta)$ es decir, lineal. Sabemos que su solución general es $$\rho \;e^{\int p(\theta)d\theta}-\displaystyle\int q(\theta)e^{\int p(\theta)d\theta}d\theta=C$$ En nuestro caso queda $$ye^{-\theta}-2\displaystyle\int(\operatorname{sen}\theta-\cos\theta)d\theta=C. $$ Aplicando el método de integración por partes, obtenemos la solución general de la ecuación dada: $\rho=Ce^{\theta}-2\operatorname{sen}\theta .$