Derivación de funciones algebraicas

Proporcionamos ejercicios sobre derivación de funciones algebraicas.

Enunciado
1. Demostrar que si $f(x)=k$ es función constante, entonces $f'(x)=0$ para todo $x\in\mathbb{R}.$
2. Demostrar que si $f(x)=x,$ entonces $f'(x)=1$ para todo $x\in\mathbb{R}.$
3. Demostrar que si $f(x)=x^n$ con $n$ entero positivo, entonces $f'(x)=nx^{n-1}$ para todo $x\in\mathbb{R}.$
4. Usando conocidos teoremas de derivación, hallar las derivadas de las funciones polinómicas:
   $(a)\;f(x)=x^7.$ $(b)\;g(x)=8x^5.$ $(c)\;h(x)=4x^5-6x^4+3x^2+6x-11.$
5. Usando la fórmula de la derivada de un cociente, calcular las derivadas de las funciones racionales:
   $(i)\;f(x)=\dfrac{a+bx}{c+dx}\; (a,b,c,d\text{ constantes)}.\quad$ $(ii)\;g(x)=\dfrac{3x+5}{x^2-4x+3}.$
6. Hallar $y’$ siendo:
   $(a)\; y=3\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt{x^5}+\dfrac{1}{x^3}.\quad$ $(b)\; y=\dfrac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}.\quad$ $(c)\; y=4x^6\sqrt{5x^3}.$

Solución
1. Aplicando la definición de derivada: $$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{k-k}{h}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{0}{h}=\displaystyle\lim_{h\to 0}0=0.$$
2. Aplicando la definición de derivada: $$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=\displaystyle\lim_{h\to 0}1=1.$$
3. Aplicando la definición de derivada: $$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}.$$ Usando la fórmula del binomio de Newton: $$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{{\binom{n}{0}x^{n}}+\binom{n}{1}x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-1}h^2+\ldots+\binom{n}{n}h^n-{x^n}}{h}=$$ $$\displaystyle\lim_{h\to 0}\left(\binom{n}{1}x^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-1}h^2+\ldots+\binom{n}{n}h^{n-1}\right)=\binom{n}{1}x^{n-1}=nx^{n-1}.$$
4. $(a)$ Usando $\left(x^n\right)’=nx^{n-1},$ tenemos $f'(x)=7x^6.$
   $(b)$ Usando $\left(ku(x)\right)’=ku'(x)$ si $k$ constante: $g'(x)=8(5x^4)=40x^4.$
   $(c)$ Usando que la derivada de la suma (diferencia) es la suma (diferencia) de las derivadas, $h'(x)=20x^4-24x^3+6x+6.$
5. $(i)$ $f'(x)=\dfrac{b(c+dx)-d(a+bx)}{(c+dx)^2}=\dfrac{bc-ad}{(c+dx)^2}.$$(ii)$ $g'(x)=\dfrac{3(x^2-4x+3)-(2x-4)(3x+5)}{(x^2-4x+3)^2}=\dfrac{-3x^2-10x+29}{(x^2-4x+3)^2}.$
6. $(a)$ Podemos escribir $y=3x^{2/3}-2x^{5/2}+x^{-3}.$ Por tanto: $$y’=2x^{-1/3}-5x^{3/2}-3x^{-4}=\frac{2}{\sqrt[3]{x}}-5x\sqrt{x}-\frac{3}{x^4}.$$ $(b)$ $y’=\dfrac{-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(1+\sqrt{x})-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(1-\sqrt{x})}{(1+\sqrt{x})^2}=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{(1+\sqrt{x})^2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2}.$
   $(c)$ Podemos escribir $y=4x^6\sqrt{5}x^{3/2}=4\sqrt{5}x^{15/2},$ por tanto:
   $$y’=30\sqrt{5}x^{13/2}=30\sqrt{5}\sqrt{x^{13}}=30\sqrt{5}x^6\sqrt{x}.$$