Derivación de funciones trigonométricas y circulares inversas

Publicada el marzo 21, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre derivación de funciones trigonométricas y circulares inversas.

RESUMEN TEÓRICO
  • Notación de Leibniz.  Dada una función $y=f(x)$, a su derivada la estamos denotando por $y’$ o por $f'(x).$ Otra forma de designar a la derivada es por $\dfrac{d}{dx}y$ o bien por $\dfrac{d}{dx}f(x)$ (notación de Leibniz)
  • Ejemplo.  De acuerdo con la notación anterior: $$\dfrac{d}{dx}x^3=3x^2,\quad\dfrac{d}{dx}(x^2+\sqrt{x})=2x+\dfrac{1}{2\sqrt{x}},\quad\dfrac{d}{dt}(t^2+t)=2t+1.$$
  • Teorema  (de derivación de funciones trigonométricas).  Se verifica: $$\dfrac{d}{dx}\operatorname{sen} x=\cos x,\quad \dfrac{d}{dx}\cos x=-\operatorname{sen} x,\quad \dfrac{d}{dx}\tan x=\dfrac{1}{\cos^2 x}.$$
  • Teorema  (de derivación de funciones circulares inversas).  Se verifica: $$\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsen} x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad \dfrac{d}{dx}\arccos x=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}},\quad \dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^2}.$$
    Enunciado
  1. Hallar $y’$ siendo:
    $(a)\; y=a\cos x+b\operatorname{sen} x.\quad$ $(b)\; y=\dfrac{\operatorname{sen} x+\cos x}{\operatorname{sen} x-\cos x}.\quad$ $(c)\; y=x\tan x.$
  2. Hallar:
    $(a)\; \dfrac{d}{dx}(x\operatorname{arcsen} x).\; (b)\;\dfrac{d}{dx}(\cot x-\tan x).\; (c)\;\dfrac{d}{dt}\left((t^2-2)\cos t-2t \operatorname{sen} t\right).$
  3. Demostrar que:
    $(a)\;\dfrac{d}{dx}(\tan x)= \dfrac{1}{\cos^2 x}.\quad (b)\;\dfrac{d}{dx}(\cot x)=- \dfrac{1}{\operatorname{sen}^2 x}. $
  4. Hallar $\dfrac{d}{dx}(\csc x)$ y $\dfrac{d}{dx}(\sec x).$
  5. Demostrar que si $f(x)=\operatorname{sen} x,$ entonces $f'(x)=\cos x.$
  6. Demostrar que si $ f(x)=\cos x $, entonces $ f'(x)=-\operatorname{sen} x.$
    Solución
  1. $(a)$ $ y’=-a\operatorname{sen} x+b\cos x. $
    $$(b)\quad y’=\dfrac{(\cos x-\operatorname{sen} x)(\operatorname{sen} x-\cos x)-(\cos x+\operatorname{sen} x)(\operatorname{sen} x+\cos x)}{(\operatorname{sen} x-\cos x)^2}$$$$
    =\dfrac{-\operatorname{sen}^2x-\cos^2 x+{2\operatorname{sen} x\cos x}-\operatorname{sen}^2 x-\cos^2 x-{2\operatorname{sen} x\cos x}}{(\operatorname{sen} x-\cos x)^2}$$$$
    =\dfrac{-1-1}{(\operatorname{sen} x-\cos x)^2}=\dfrac{-2}{(\operatorname{sen} x-\cos x)^2}.$$
    $(c)$ $y’=1\tan x+x\dfrac{1}{\cos^2x}=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}+\dfrac{x}{\cos^2x}=\dfrac{\operatorname{sen} x\cos x+x}{\cos^2x}.$
  2. $(a)$ $\dfrac{d}{dx}(x\operatorname{arcsen} x)=1\cdot \operatorname{arcsen} x+x\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\operatorname{arcsen} x+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}.$
    $(b)$ $\dfrac{d}{dx}(\cot x-\tan x)=-\dfrac{1}{\operatorname{sen}^2x}-\dfrac{1}{\cos^2 x}$ $=\dfrac{-\operatorname{sen}^2x-\cos^2x}{\operatorname{sen}^2x \cos^2x}=\dfrac{-1}{(\operatorname{sen} 2x/2)^2}=-\dfrac{4}{\operatorname{sen}^2 2x}.$
    $(c)$ $\dfrac{d}{dt}\left((t^2-2)\cos t-2t \operatorname{sen} t\right)$ $=2t\cos t+(t^2-2)(-\operatorname{sen} t)-2\operatorname{sen} t-2t\cos t=-t^2\operatorname{sen} t.$
  3. $(a)$ Por definición de función tangente, $\tan x=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}.$ Usando la fórmula de la derivada de un cociente con $\cos x\neq 0:$ $$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\right)=\dfrac{\cos x\cos x-(-\operatorname{sen} x)\operatorname{sen} x}{\cos^2 x}=\dfrac{\cos^2 x+\operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x}=\dfrac{1}{\cos^2 x}.$$ $(b)$ Por definición de función cotangente, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}.$ Usando la fórmula de la derivada de un cociente con $\operatorname{sen} x\neq 0:$
    $$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\right)=\dfrac{-\operatorname{sen} x\operatorname{sen} x-\cos x\cos x}{\operatorname{sen}^2 x}=\dfrac{-\operatorname{sen}^2 x-\cos^2 x}{\operatorname{sen}^2 x}=-\dfrac{1}{\operatorname{sen}^2 x}.$$
  4. Usando las definiciones de las funciones cosecante, secante y la fórmula de la derivada de un cociente:
    $\dfrac{d}{dx}(\csc x)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\operatorname{sen} x}\right)=\dfrac{-\cos x}{\operatorname{sen}^2 x}=-\cot x\csc x.$
    $\dfrac{d}{dx}(\sec x)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\cos x}\right)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos^2 x}=\tan x\sec x.$
  5. Aplicando la definición de derivada y la fórmula del seno de la suma: $$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac{f(x + h) – f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} (x + h)-\operatorname{sen} x}{h}$$ $$
    =\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\operatorname{sen} x\cos h+\cos x\operatorname{sen} h-\operatorname{sen} x}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\operatorname{sen} x (\cos h-1)+\cos x\operatorname{sen} h}{h}$$ $$
    =\displaystyle\operatorname{sen} x\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\rightarrow0}\frac{\operatorname{sen} h}{h}.\qquad (1)$$ Usando $\cos\alpha-\cos\beta=-2\operatorname{sen}\dfrac{\alpha+\beta}{2}\operatorname{sen}\dfrac{\alpha-\beta}{2}$ con $\alpha=h$ y $\beta=0:$ $$\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos h-1}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{-2\operatorname{sen}\frac{h}{2}\operatorname{sen}\frac{h}{2}}{h}=-\lim_{h\rightarrow0}\operatorname{sen} \frac{h}{2}\cdot \lim_{h\rightarrow0}\frac{\operatorname{sen} \frac{h}{2}}{h/2}.$$
    Usando que la función seno es continua y que $\lim_{t\to 0}(\operatorname{sen} t/t)=1:$ $$\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos h-1}{h}=-(0\cdot 1)=0,\;\quad \lim_{h\rightarrow0}\frac{\operatorname{sen} h}{h}=1.$$ Sustituyendo en $(1):$ $$f'(x)=(\operatorname{sen} x)\cdot 0+(\cos x)\cdot 1=\cos x.$$
  6. Se verifica $f(x)=\cos x=\operatorname{sen} (\pi/2-x).$ Usando la regla de la cadena (ver el correspondiente apartado): $$f'(x)=-\cos (\pi/2-x)=-\operatorname{sen} x.$$
Esta entrada ha sido publicada en Análisis real y complejo y etiquetada como , , , , . Guarda el enlace permanente.