Ecuación diferencial lineal no homogénea con coeficientes constantes (orden $n$)

Publicada el marzo 21, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamoa ejercicios sobre la scuación diferencial lineal no homogénea con coeficientes constantes y de orden $n$.

RESUMEN TEÓRICO
  • Teorema.  Consideremos la ecuación diferencial ordinaria lineal, no homogénea, con coeficientes reales constantes y de orden $n$: $$x^{(n)}+a_{n-1}x^{(n-1)}+\ldots+a_1x^{\prime}+a_0x=b(t),\quad (1)$$ en donde $t$ es la variable independiente,  $x$ la dependiente y $b(t)$ representa una función continua de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}.$ La correspondiente ecuación homogénea asociada es por tanto $$x^{(n)}+a_{n-1}x^{(n-1)}+\ldots+a_1x^\prime+a_0x=0.\quad (2)$$ Entonces, todas las soluciones de la ecuación completa (1) se obtienen sumando a una solución particular de esta todas las de la homogénea (2).
  • Teorema (Método de selección de soluciones particulares).  Si $b(t)$ es una función de la forma $$b(t)=e^{\alpha t}\left(P_k(t)\cos \beta t+Q_r(t)\sin \beta t\right).\quad (3)$$ con $P_k,Q_r$ polinomios de grados $k,r$ respectivamente, y $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$, entonces, una solución particular de la ecuación $(1)$ es de la forma: $$x_p(t)=t^se^{\alpha t}\left(\tilde{P_d}(t)\cos \beta t+\tilde{Q_d}(t)\sin \beta t\right),$$ en donde:
    $(i)$ $\tilde{P_d},\tilde{Q_d}$ son polinomios con coeficientes indeterminados ambos de grado $d=\max \left\{{k,r}\right\}.$
    $(ii)$ $s$ es el orden de multiplicidad de $\alpha +\beta i$ como raíz de la ecuación característica $\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots+a_1\lambda+a_0=0.$
    Enunciado
  1. Hallar la solución general de la ecuación $$x^{\prime\prime\prime}-x^{\prime\prime}+x’-x=t^2+t.$$
  2. Hallar la solución general de la ecuación $$x^{\prime\prime\prime}-x^{\prime\prime}=12t^2+6t.$$
  3. Hallar la solución general de la ecuación $$x^{\prime\prime}-6x’+9x=25e^t\sin t.$$
  4. Resolver la ecuación diferencial $x^{\prime\prime}+x=\sin ^2t,$ con las condiciones iniciales $x(0)=0$, $x'(0)=1.$
    Solución
  1. Hallemos la solución general de la homogénea. Las soluciones de la ecuación característica $\lambda^3-\lambda^2+\lambda -1=0$ son $1,\pm i$ (simples). La solución general de la homogénea es por tanto $x_h(t)=C_1e^t+C_2\cos t+C_3\sin t.$ Identificando $t^2+t$ con $b(t)$ de (3): $$t^2+t=e^{0t }\left((t^2+t)\cos 0 t+0\sin 0 t\right),$$ deducimos que una solución particular de la ecuación no homogénea ha de tener la forma $x_p(t)=at^2+bt+c.$ Obligamos que sea solución: $$0-(2a)+(2at+b)-(at^2+bt+c)=t^2+t.$$ Identificando coeficientes y resolviendo el sistema obtenemos $a=-1,\;b=-3,\;c=-1.$ La solución general de la ecuación dada es $$x(t)=-t^2-3t-1+C_1e^t+C_2\cos t+C_3\sin t.$$
  2. Hallemos la solución general de la homogénea. Las soluciones de la ecuación característica $\lambda^3-\lambda^2=0$ son $0$ (doble) y $1$ (simple). La solución general de la homogénea es por tanto $x_h(t)=C_1+C_2t+C_3e^t.$ Identificando   $12t^2+6t$  con  $b(t)$ de (3): $$12t^2+6t=e^{0t }\left((12t^2+6t)\cos 0 t+0\sin 0 t\right),$$ deducimos que una solución particular de la ecuación no homogénea ha de tener la forma $x_p(t)=t^2(at^2+bt+c)=at^4+bt^3+ct^2.$ Obligamos que sea solución: $$(24at+6b)-(12at^2+6bt+2c)=12t^2+6t.$$ Identificando coeficientes y resolviendo el sistema obtenemos $a=-1,\;b=-5,\;c=-15.$ La solución general de la ecuación dada es $$x(t)=-t^4-5t^3-15t^2+C_1+C_2t+C_3e^t.$$
  3. Hallemos la solución general de la homogénea. La solución de la ecuación característica $\lambda^2-6\lambda +9=0$ es $3$ (doble). La solución general de la homogénea es por tanto $x_h(t)=C_1e^{3t}+C_2te^{3t}.$ Identificando   $25e^t\sin t$  con  $b(t)$ de (3): $$25e^t\sin t=e^{t }\left(0\cos  t+25\sin t\right),$$ deducimos que una solución particular de la ecuación no homogénea ha de tener la forma $x_p(t)=e^t(a\cos t+b\sin t).$ Derivando: $$\left \{ \begin{matrix} x_p(t)=e^t(\cos t+b\sin t)\\x’_p(t)=e^t((a+b)\cos t+(b-a)\sin t)\\x»_p(t)=e^t(2b\cos t-2a\sin t).\end{matrix}\right.$$ Obligando a que $x_p(t)$ sea solución, identificando coeficientes y resolviendo el sistema resultante, obtenemos $a=4,\;b=3.$ La solución general de la ecuación dada es $$x(t)=e^t(4\cos t+3\sin t)+e^{3t}(C_1+C_2t).$$
  4. Ver Superposición de soluciones.
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