Derivación de funciones exponenciales y logarítmicas

Publicada el marzo 22, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre derivación de funciones exponenciales y logarítmicas.

RESUMEN TEÓRICO
  • Teorema  (Derivada de la función exponencial).  Para $a>0,$ se verifica para todo $x\in\mathbb{R}$: $$\frac{d}{dx}a^x=a^x\log a,$$ en donde $\log$ representa el logaritmo neperiano.
  • Caso particular.  Si $a=e,$ entonces $\log e=1$ y por tanto: $$\frac{d}{dx}e^x=e^x.$$
  • Teorema  (Derivada de la función logarítmica).  Para $a>0,$ se verifica para todo $x>0$: $$\frac{d}{dx}\log_ax=\frac{1}{x}\log_ ae.$$
  • Caso particular.  Si $a=e,$ entonces $\log _ae=1$ y obtenemos la derivada de logaritmo neperiano: $$\frac{d}{dx}\log x=\frac{1}{x}.$$ 
    Enunciado
  1. Calcular las derivadas de las funciones:
    $(a)$ $y=(x^2-6x+5)e^x.\quad$ $(b)$ $y=e^x\operatorname{sen} x.\quad$ $(c)$ $y=\dfrac{7^x}{x^2}$.
  2. Calcular las derivadas de las funciones:
    $(a)$ $y=(x^3-5)\log x.\quad$ $(b)$ $y=(\log_5x)\cos x.\quad $ $(c)$ $y=\dfrac{3x^2}{\log x}$.
  3. Demostrar que si $a>0$, se verifica para todo $x>0$: $$\displaystyle\frac{d}{dx}\log_ax=\frac{1}{x}\log_ ae.$$
    Solución
  1. $(a)$ $y’=(2x-6)e^x+(x^2-6x+5)e^x=(x^2-4x-1)e^x.$
    $(b)$ $y’=e^x\operatorname{sen} x+e^x\cos x=e^x(\operatorname{sen} x+\cos x).$
    $(c)$ $y’=\dfrac{x^27^x\log 7-2×7^x}{x^4}=\dfrac{(x^2\log 7-2x)7^x}{x^4}.$
  2. $(a)$ $y’=3x^2\log x+(x^3-5)\dfrac{1}{x}.$
    $(b)$ $y’=\left(\dfrac{1}{x}\log_5 e\right)\cos x+(\log_5x)(-\operatorname{sen} x)=\dfrac{\log_5 e(\cos x-x\operatorname{sen} x)}{x}.$
    $(c)$ $y’=\dfrac{6x\log x-\dfrac{1}{x}3x^2}{\log^2 x}=\dfrac{6x^2\log x-3x^2}{x\log^2 x}.$
  3. Usando la definición de definición de derivada: $$\frac{d}{dx}\log_a x = \lim_{h \to 0}\frac{\log_a (x + h) – \log_a x}{h}.$$ Usando conocidas propiedades de los logaritmos:$$\frac{d}{dx}\log_a x = \lim_{h \to 0}\log_a \left(\frac{x + h}{x}\right)^{\frac{1}{h}} = \lim_{h \to 0}\log_a \left(1 + \frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}.$$ Podemos escribir: $$\displaystyle\frac{d}{dx}\log_a x = \lim_{h \to 0}\log_a \left[\left(1 + \frac {1} {\frac{x}{h}}\right)^{\frac{x}{h}}\right]^{\frac{1}{x}} $$ $$\displaystyle= \frac{1}{x}\lim_{h \to 0}\log_a \left(1 + \frac {1} {\frac{x}{h}}\right)^{\frac{x}{h}}
    = \frac{1}{x} \log_a \left[\lim_{h \to 0} \left(1 + \frac {1} {\frac{x}{h}}\right)^{\frac{x}{h}}\right] .$$ Cuando $h\to 0^+,$ $\dfrac{x}{h}\to +\infty.$ Efectuando el cambio de variable $t=\dfrac{x}{h}$ y por la definición del número $e:$
    $$\lim_{h \to 0} \left(1 + \frac {1} {\frac{x}{h}}\right)^{\frac{x}{h}} = \lim_{t \to +\infty} \left(1+\frac{1}{t}\right)^t=e.$$ Queda por tanto $$\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x} \log_a e.$$
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