Proporcionamos ejercicios sobre derivación de funciones hiperbólicas inversas.
RESUMEN TEÓRICO
- Teorema (Expresión de las funciones hiperbólicas inversas en forma logarítmica). Las funciones inversas del seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica se pueden expresar respectivamente: $$\begin{aligned}&\operatorname {arsh} x = \log \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \quad (x\in\mathbb{R}),\\
&\operatorname {arch} x = \log \left(x + \sqrt{x^{2} – 1} \right)\quad (x \ge 1),\\
&\operatorname {arth} x = \dfrac{1}{2}\log \dfrac{1 + x}{1 – x} \quad (\left| x \right| < 1).\end{aligned}$$
- Teorema (Derivación de funciones hiperbólicas inversas). Se verifica: $$\dfrac{d}{dx} \operatorname{arsh}x =\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}},\quad \dfrac{d}{dx} \operatorname{arch}\,x =\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}},\quad \dfrac{d}{dx} \operatorname{arth}\,x =\dfrac{1}{1-x^{2}}.$$
Enunciado
- Calcular $f'(x),$ siendo $f(x)=\operatorname{arth}x-\arctan x.$
- Calcular $y’,$ siendo $y=\dfrac{\operatorname{arch}x}{x}.$
- Calcular $\dfrac{d}{dx}\left(\operatorname{arsen}x\;\operatorname{arsh}x\right).$
Solución
- $\quad f'(x)=\dfrac{1}{1-x^2}-\dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{1+x^2-1+x^2}{(1-x^2)(1+x^2)}=\dfrac{2x^2}{(1-x^2)(1+x^2)}.$
- $\quad y’=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}x-\operatorname{arch}x}{x^2}=\dfrac{x-\sqrt{x^2-1}\operatorname{arch}x}{x^2\sqrt{x^2-1}}.$
- $\quad \dfrac{d}{dx}\left(\operatorname{arsen}x\;\operatorname{arsh}x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\operatorname{arsh}x+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\operatorname{arsen}x.$