Normas no equivalentes

En el siguiente problema, damos un ejemplo de dos normas no equivalentes en un espacio vectorial de dimensión infinita, y demostramos que en todo espacio vectorial normado de dimensión infinita existen al menos dos normas que no son equivalentes.

Enunciado
(a) Demostrar que en el espacio vectorial real $\mathcal{C}[0,1]$ de las funciones continuas de $[0,1]$ en $\mathbb{R}$ las normas $$ \left\|{f}\right\|_1=\displaystyle\int_0^1\left|f(t)\right|\;dt\;,\quad \left\|{f}\right\|_{\infty}=\sup_{t\in [0,1]}\left|f(t)\right|$$ no son equivalentes.

(b) Sea $(E,\|\;\|)$ un espacio vectorial normado de dimensión infinita. Demostrar que existen en $E$ al menos dos normas no equivalentes.

Solución
(a) Consideremos la sucesión de funciones $(f_n)_{n\geq 1}$ definida por

$f_n(t)=\left \{ \begin{matrix}  1-nt & \mbox{ si }& t\in [0,1/n]\\0 & \mbox{si}& t\in (1/n,1].\end{matrix}\right.$

Como fácilmente se puede verificar, $f_n\in\mathcal{C}[0,1]$ , $\|f_n\|_1=1/2n$ y $\|f_n\|_2=1$ para todo $n$ . Es decir, la sucesión tiene por límite la función $0$ con la norma $\|\;\|_1$ y la función $1$ con la norma $\|\;\|_{\infty}$ . Esto implica que las normas anteriores no definen la misma topología y como consecuencia no pueden ser equivalentes.

(b) Como $\dim E=\infty$ existe una familia libre $\{e_n:n\in\mathbb{N}\}$ de vectores unitarios con la norma dada. Consideremos el subespacio $F$ de $E$ generado por la familia anterior, es decir $F=L[\{e_n:n\in\mathbb{N}\}]=\{\;\sum_{i=0}^n\lambda_i e_i:n\in\mathbb{N},\lambda_i\in\mathbb{K}\;\}\;.$ Definimos en $F$ las normas:

$\left\|\sum_{i=0}^n\lambda_i e_i\right\|_1=\sum_{i=0}^n |\lambda_i|\quad,\quad \left\|\sum_{i=0}^n\lambda_i e_i\right\|_2=\sum_{i=0}^n 2^i|\lambda_i|.$

Es fácil verificar que efectivamente son normas en $F$ . Estas normas no son equivalentes en $F$ pues $$\dfrac{\left\|{e_n}\right\|_2}{\left\|{e_n}\right\|_1}\to +\infty.$$

Basta ver que las normas se pueden extender a $E.$ El conjunto de índices  $J$  puede ser finito, contable infinito o no contable, pero en cualquier caso todo vector  $x\in E$ se puede expresar de manera única en la forma

$$x=\sum_{i=0}^n\lambda_i e_i+\sum_{k=1}^K\mu_k v_{j_k}\quad (j_k\neq j_{k’}\text{ si } k\neq k’).$$

Las normas  $\|\;\|_l\;(l=1,2)$  sobre  $F$  se extienden a  $E$  en la forma

$$\left\|x\right\|_l= \left\|\sum_{i=0}^n\lambda_i e_i\right\|_l+ \left\|\sum_{k=1}^K\mu_k v_{j_k}\right\|\quad (l=1,2).$$