Proponemos ejercicios sobre el teorema de la función inversa.
- Hallar $\left(f^{-1}\right)'(16),$ siendo $f(x)=x^3+2x^2+3x+10.$
- Hallar $\left(f^{-1}\right)'(2),$ siendo $f(x)=\sqrt[3]{x^3+5x+2}.$
- Siendo $f(x-2)=x^3+1$ y $g(x)=f(\arctan x),$ calcular $\left(g^{-1}\right)'(9).$
- Deducir una fórmula para $\left(f^{-1}\right)^{\prime\prime}(x).$ Como aplicación, calcular $\left(p^{-1}\right)^{\prime\prime}(0)$ siendo $p(x)=2x+7x^2+10x^3.$
- Usando el teorema de la derivada de la función inversa, deducir la fórmula de la derivada de la función arcoseno.
- Usando el teorema de la derivada de la función inversa, deducir la fórmula de la derivada de la función exponencial.
Enunciado
- $f'(x)=3x^2+4x+3,$ luego $f$ es derivable en todo $\mathbb{R}$ con derivada continua. Hallemos $f^{-1}(16):$ $$x_0=f^{-1}(16)\Leftrightarrow f(x_0)=16\Leftrightarrow x_0^3+2x_0^2+3x_0+10=16.$$ Queda la ecuación $x_0^3+2x_0^2+3x_0-6=0.$ Según sabemos, las únicas posibles raíces enteras han de ser divisores de $-6,$ es decir $\pm 1,$ $\pm 2,$ $\pm 3$ o $\pm 6.$ Sustituyendo, verificamos que una raíz es $x_0=1.$ Usando la regla de Ruffini la ecuación se transforma en $(x_0-1)(x_0^2+3x_0+6)=0.$
- Hallemos $f^{-1}(2):$ $$x_0=f^{-1}(2)\Leftrightarrow f(x_0)=2\Leftrightarrow \sqrt[3]{x_0^3+5x_0+2}=2.$$ Elevando al cubo obtenemos $x_0^3+5x_0-6=0.$ Una raíz es $x_0=1,$ y usando la regla de Ruffini, $(x_0-1)(x_0^2+x_0+1)=0.$
Pero $x_0^2+x_0+1=0$ no tiene soluciones reales, en consecuencia $f^{-1}(2)=1.$ Ahora bien,
$$f'(x)=\dfrac{3x^2+5}{3\sqrt[3]{(x^3+5x+2)^2}},\quad f'(1)=\dfrac{8}{3\sqrt[3]{8^2}}=\dfrac{2}{3}\neq 0.$$ En un entorno de $1,$ $f$ es derivable con derivada continua. Por el teorema de la función inversa: $$\left(f^{-1}\right)'(1)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{2/3}=\dfrac{3}{2}.$$ - Llamando $t=x-2,$ queda $f(t)=(2+t)^3+1$ y $f'(t)=3(t+2)^2.$ Por otra parte, $$\begin{aligned}&g(x)=f(\arctan x)=(2+\arctan x)^3+1,\\
&g'(x)=3(2+\arctan x)^2\dfrac{1}{1+x^2}.\qquad (1)\end{aligned}$$ Hallemos $g^{-1}(9).$ Tenemos: $$\begin{aligned}&g^{-1}(9)=x_0\Leftrightarrow g(x_0)=9\Leftrightarrow (2+\arctan x_0)^3+1=9\\
&\Leftrightarrow 2+\arctan x_0=2\Leftrightarrow\arctan x_0=0\Leftrightarrow x_0=0.\end{aligned}$$ Usando $(1),$ $g'(0)=12.$ Claramente se verifican las hipótesis del teorema de la función inversa en el punto $(0,9),$ en consecuencia: $$\left(g^{-1}\right)'(9)=\frac{1}{g’\left[g^{-1}(9)\right]}=\frac{1}{g’\left(0\right)}=\frac{1}{12}.$$ - Según el teorema de la función inversa: $\left(f^{-1}\right)'(x)=\dfrac{1}{f’\left(f^{-1}(x)\right)}.$ Derivando el cociente anterior: $$\left(f^{-1}\right)^{\prime\prime}(x)=\dfrac{-f^{\prime\prime}\left(f^{-1}(x)\right)\dfrac{1}{f’\left(f^{-1}(x)\right)}}{\left(f’\left(f^{-1}(x)\right)\right)^2}=-\dfrac{f^{\prime\prime}\left(f^{-1}(x)\right)}{\left(f’\left(f^{-1}(x)\right)\right)^3}.$$ Para la función dada queda: $\left(p^{-1}\right)^{\prime\prime}(0)=-\dfrac{p^{\prime\prime}\left(p^{-1}(0)\right)}{\left(p’\left(p^{-1}(0)\right)\right)^3}.$ Calculemos $x_0=p^{-1}(0).$ Tenemos: $$x_0=p^{-1}(0)\Leftrightarrow p(x_0)=0\Leftrightarrow 2x_0+7x_0^2+10x_0^3=0.$$ La ecuación anterior equivale a $x_0\left(2+7x_0+10x_0^2\right)=0$ que proporciona la única solución $x_0=0,$ en consecuencia $\left(p^{-1}\right)^{\prime\prime}(0)=-\dfrac{p^{\prime\prime}\left(0\right)}{\left(p’\left(0\right)\right)^3}.$ Ahora bien, $$p'(x)=2+14x+30x^2,\;p^{\prime\prime}(x)=14+60x\Rightarrow p'(0)=2,\;p^{\prime\prime}(0)=14.$$ Por tanto, la derivada pedida es: $$\left(p^{-1}\right)^{\prime\prime}(0)=-\dfrac{14}{2^3}=-\dfrac{7}{4}.$$
- Consideremos la función biyectiva: $$f:\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\to (-1,1),\;f(x)=\operatorname{sen} x.$$ Su derivada $f'(x)=\cos x$ es continua y además, $f'(x)\neq 0$ para todo $x\in (-\pi/2,\pi/2).$ Llamemos $x=\operatorname{sen} y.$ Entonces, $$\left(f^{-1}\right)'(x)=\dfrac{1}{f’\left[f^{-1}(x)\right]}=\dfrac{1}{f'(y)}=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\operatorname{sen}^2 y}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$ Pero $f^{-1}(x)$ es la inversa de la función $f(x)=\operatorname{sen} x$, es decir $f^{-1}(x)=\operatorname{arcsen} x$. En consecuencia: $$\frac{d}{dx}(\operatorname{arcsen} x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad (-1<x<1).$$ Nota. Para $x=\pm 1$ la derivada del arcoseno es infinita.
- Consideremos la función biyectiva: $$f:(0,+\infty)\to \mathbb{R},\;f(x)=\log_a x\quad (a>0,a\neq 1).$$ Su derivada $f'(x)=\dfrac{1}{x}\log_ae$ es continua para todo $x>0$ y además, $f'(x)\neq 0$ para todo $x\in (0,+\infty).$ Llamemos $x=\log_a y.$ Entonces, $$\left(f^{-1}\right)'(x)=\dfrac{1}{f’\left[f^{-1}(x)\right]}=\dfrac{1}{f'(y)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{y}\log_ae}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{a^x}\log_ae}=a^x\log a.$$ En la última igualdad hemos usado la fórmula del cambio de base de los logaritmos. Pero $f^{-1}(x)$ es la inversa de la función $f(x)=\log_ax$, es decir $f^{-1}(x)=a^x.$ En consecuencia: $$\frac{d}{dx}a^x=a^x\log a\quad (x\in\mathbb{R}).$$
Solución