Matrices componentes

Proporcionamos un ejercicio de cálculo de funciones de matrices mediante matrices componentes.

Enunciado
Se considera la matriz real $A=\begin{bmatrix}{5}&{-1}\\{1}&{\;\;3}\end{bmatrix}.$

$(a)$  Calcular sus matrices componentes.
$(b)$  Como aplicación, calcular $\sqrt{A},$ $A^{-1}$ y $e^{A}.$

Solución
Recordamos el siguiente teorema:

Sea $A\in{\mathbb{K}^{n\times{n}}}$ con $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ de polinomio mínimo

$\mu(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{m_1}\ldots(\lambda-\lambda_s)^{m_s}.$

Entonces, existen matrices $A_{ik}$ con $i=1,2\ldots,s,\;k=0,1,\ldots,m_i-1$ tales que para toda función $f:\Omega\subset{\mathbb{K}}\rightarrow{\mathbb{K}}$ tal que existe $f(A)$ es decir $\exists{f^{(k)}(\lambda_i)}$ con $i=1,2\ldots,s,\;k=0,1,\ldots,m_i-1$ se verifica

$f(A)=\displaystyle\sum_{i=0}^s{\displaystyle\sum_{k=0}^{m_i-1}{f^{(k)}(\lambda_i)A_{ik}}}.$

A las matrices $A_{ik}$ se las llama matrices componentes de $A$.

$(a)$  El polinomio mínimo de la matriz $A$ es $\mu(\lambda)=(\lambda-4)^2$. Es decir $\lambda_1=4$ es el único valor propio de $A$, las matrices componentes de $A$ son $A_{10},\;A_{11}$ y para toda función $f$ para la cual exista $f(A)$ (es decir, existen $f(4)$ y $f'(4)$) se verifica:

$f(A)=f(4)A_{10}+f'(4)A_{11}.\;\;(*)$

Para hallar las matrices componentes elegimos las funciones polinómicas (siempre están definidas) $f(\lambda)=1,$ $f(\lambda)=\lambda$ y aplicamos la fórmula $(*)$ lo cual nos conduce al sistema matricial:

$\left \{ \begin{matrix}I=A_{10}\\A=4A_{10}+A_{11},\end{matrix}\right.$

que resuelto proporciona

$A_{10}=I\;,\;A_{11}=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{-1}\end{bmatrix}.$

$(b)$  Aplicando $(*)$ a la función $f(\lambda)=\sqrt{\lambda}$ y usando $f'(\lambda)=1/(2\sqrt{\lambda})$ obtenemos:

$f(A)=\sqrt[ ]{A}=2A_{10}+\displaystyle\frac{1}{4}A_{11}=\displaystyle\frac{1}{4}\begin{bmatrix}{9}&{-1}\\{1}&{\;\;7}\end{bmatrix}.$

Aplicando $(*)$ a la función $f(\lambda)=1/\lambda$ y usando $f'(\lambda)=-1/\lambda ^2$ obtenemos:

$f(A)=\displaystyle\frac{1}{A}=A^{-1}=\displaystyle\frac{1}{4}A_{10}-\displaystyle\frac{1}{16}A_{11}=\dfrac{1}{16}\begin{bmatrix}{\;\;3}&{1}\\{-1}&{5}\end{bmatrix}.$

Aplicando $(*)$ a la función $f(\lambda)=e^{\lambda}$ y usando $f'(\lambda)=e^{\lambda}$ obtenemos:

$$f(A)=e^A=e^4A_{10}+e^4A_{11}=e^4\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{1}&{\;\;0}\end{bmatrix}.$$