Teorema de Rouché

Proporcionamos ejercicios sobre el Teorema de Rouché.

Enunciado
1. Hallar el número de ceros de $F(z)=z^8-4z^5+z^2-1$ en $\left|z\right|<1.$
2. Aplicando el teorema de Rouché, hallar el número de soluciones de las siguientes ecuaciones en los dominios que se indican.
   $1)\;z^4-3z^3-1=0$ en $\left|z\right|<2.$
   $2)\;z^3+z+1=0$ en $\left|z\right|<1/2.$
3. Hallar el número de soluciones de la ecuación $4z^4-29z^2+25=0$ en $2<\left|z\right|<3.$

Solución
1. Elijamos $f(z)=-4z^5,\;g(z)=z^8+z^2-1.$ En $\left|z\right|=1$ se verifica $$\left|g(z)\right|=\left|z^8+z^2-1\right|\leq \left|z^8\right|+\left|z^2\right|+\left|-1\right|=\left|z\right|^8+\left|z\right|^2+1=3,$$ $$\left|f(z)\right|=\left|-4z^5\right|=4\left|z\right|^5=4.$$ Por tanto, $\left|f(z)\right|>\left|g(z)\right|$ en $\left|z\right|<1.$ Según el teorema de Rouché $F(z)$ tiene el mismo número de raíces en $\left|z\right|<1$ que $-4z^5$ incluyendo multiplicidades es decir, 5 raíces.
2. $1)$ Llamemos $F(z)=z^4-3z^3-1$ y elijamos $f(z)=-3z^3,\;g(z)=z^4-1.$ En $\left|z\right|=2$ se verifica $$\left|g(z)\right|=\left|z^4-1\right|\leq \left|z^4\right|+\left|-1\right|=\left|z\right|^4+1=16+1=17,$$ $$\left|f(z)\right|=\left|-3z^3\right|=3\cdot 2^3=24.$$ Por tanto, $\left|f(z)\right|>\left|g(z)\right|$ en $\left|z\right|<2.$ Según el teorema de Rouché $F(z)$ tiene el mismo número de raíces en $\left|z\right|<2$ que $-3z^3$ incluyendo multiplicidades es decir, 3 raíces.
   $2) $ Llamemos $F(z)=z^3+z+1$ y elijamos $f(z)=1,\;g(z)=z^3+z.$ En $\left|z\right|=1/2$ se verifica $$\left|g(z)\right|=\left|z^3+z\right|\leq \left|z^3\right|+\left|z\right|=\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{5}{8},$$ $$\left|f(z)\right|=\left|1\right|=1.$$ Por tanto, $\left|f(z)\right|>\left|g(z)\right|$ en $\left|z\right|<1/2.$ Según el teorema de Rouché $F(z)$ tiene el mismo número de raíces en $\left|z\right|<1/2$ que $1$ incluyendo multiplicidades es decir, no tiene raíces.
3. Llamemos $F(z)=4z^4-29z^2+25$ y sean $N_1$ el número de raíces de $F(z)$ en $\left|z\right|<3,$ y $N_2$ el número de raíces de $F(z)$ en $\left|z\right|<2.$ Entonces, el número de raíces de $F(z)$ en $2<\left|z\right|<3$ es $N_1-N_2,$ si $F(z)$ no tiene raíces en $\left|z\right|=2.$
   Aplicando el teorema de Rouché para $\left|z\right|<3$ considerando $f(z)=4z^3,$ fácilmente obtenemos que $N_1=4,$ y aplicandolo para $\left|z\right|<2$ considerando $f(z)=-29z^2,$ fácilmente obtenemos que $N_2=2.$
   En el proceso de cálculo de $N_2$ ya se habrá comprobado que $F(z)$ no tiene raíces en $\left|z\right|=2$ pues $\left|f(z)\right|>\left|g(z)\right|.$ Concluimos que el número de raíces de $F(z)$ en $2<\left|z\right|<3$ considerando multiplicidades es $N_1-N_2=2.$