Trayectorias ortogonales y oblicuas

Publicada el marzo 28, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejemplos de cálculo de trayectorias ortogonales y oblicuas.

RESUMEN TEÓRICO
  • Teorema.  Si $F(x,y,y’)=0$ es la ecuación diferencial de la familia de curvas $f(x,y,a)=0$, entonces la ecuación diferencial de sus trayectorias ortogonales (curvas que las cortan ortogonalmente) es $$F\left (x,y,-\frac{1}{y’}\right)=0.$$
  • Teorema.  Si $F(x,y,y’)=0$ es la ecuación diferencial de la familia de curvas $f(x,y,a)=0$, entonces la ecuación diferencial de las trayectorias oblicuas de ángulo $\alpha\neq \pi/2$ (curvas que las cortan bajo un ángulo $\alpha$) es $$F\left(x,y,\dfrac{y’-m}{1+my’} \right)=0\quad (m=\tan \alpha).$$ 
    Enunciado
  1. Determinar las trayectorias ortogonales de:
    $(a)$ La familia de parábolas $y=ax^2$.
    $(b)$ La familia de circunferencias $x^2+y^2-2ax=0$.
  2. Hallar la familia de trayectorias oblicuas que corta a la familia de rectas $y=ax$ formando un ángulo de $\pi/4$.
  3. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias de centro $(2,1)$ y radio $\sqrt{C}.$
    Solución
  1. $(a)$ Derivando obtenemos $y’=2ax$ y eliminando $a$ queda la ecuación $y’=2y/x$. Sustituyendo en esta ecuación $y’$ por $-1/y’$ obtenemos la ecuación de las trayectorias ortogonales: $-1/y’=2y/x$, o bien $xdx+2ydy=0$. Integrando, obtenemos la familia de elipses: $$x^2/2+y^2=C\quad (C>0).$$ $(b)$ Derivando obtenemos $2x+2yy’-2a=0$. Eliminando $a$ queda la ecuación $y^2-x^2-2xyy’=0$. Eliminando $a$ queda la ecuación $y^2-x^2-2xyy’=0$. Sustituyendo $y’$ por $-1/y’$ queda la ecuación $(y^2-x^2)y’+2xy=0$ que es homogénea. Efectuando el cambio $y=vx$, dividiendo entre $x^2$ y ordenando términos la ecuación se transforma en $$\displaystyle\frac{dx}{x}+\displaystyle\frac{(v^2-1)\;dv}{v(v^2+1)}=0.$$ Descomponiendo en fracciones simples, $$\frac{dx}{x}+\left(-\frac{1}{v}+\frac{2v}{v^2+1}\right)dv$$ Integrando, $$\log |x|-\log |v|+\log\left|v^2+1\right|=K.$$ Simplificando, $x(v^2+1)=Cv.$ Sustituyendo $v=y/x$ obtenemos la familia de circunferencias $$x^2+y^2-Cy=0.$$
  2. Tenemos $m=\tan (\pi/4)=1$. Derivando obtenemos $y’=a$ y eliminando $a$ queda la ecuación $y=y’x$. Sustituyendo en esta ecuación $y’$ por $(y’-1)/(1+y’)$ obtenemos la ecuación de las trayectorias ortogonales: $y(1+y’)=(y’-1)x$.
    Esta ecuación se puede escribir en la forma $(x+y)dx+(y-x)dx=0$ que es homogénea. Efectuando el cambio $y=vx$, dividiendo entre $x$ y ordenando términos la ecuación se transforma en $$\dfrac{dx}{x}+\dfrac{(v-1)dv}{v^2+1}=0.$$ Integrando obtenemos $\log |x|+(1/2)\log (v^2+1)-\arctan v=\log |C|$ o de forma equivalente $\log C^2x^2(v^2+1)-2\arctan v=0$. Sustituyendo $v=y/x$ obtenemos la familia de las trayectorias oblicuas pedida $$\log C^2(x^2+y^2)-2\arctan \dfrac{y}{x}=0.$$
  3. La familia de curvas dada es $(x-2)^2+(y-1)^2=C.$ Derivando respecto de $x$ obtenemos $$2(x-2)+2(y-1)y^\prime=0\text{ o bien }x-2+(y-1)y^\prime=0$$ que es la ecuación diferencial de la familia dada. Sustituyendo $y^\prime$ por $-1/y^\prime$ obtenemos la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales: $$x-2+\frac{1-y}{y^\prime}=0$$ ecuación que es de variables separadas y la podemos escribir en la forma $$\frac{dy}{y-1}-\frac{dx}{x-2}=0.$$ Integrando y simplificando $$ \log |y-1| -\log |x-2|=C_1,\;\;\log\left|\frac{y-1}{x-2}\right|=C_1,\;\; \frac{y-1}{x-2}=e^{C_1}$$ y la ecuación de las trayectorias ortogonales pedida es $y-1=K(x-2).$
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