Infinitud de los números primos, demostración topológica

Desarrollamos la demostración de Furstenberg de la infinitud de los números primos basada en ideas topológicas.

Teorema
Existen infinitos números primos.

Demostración
Para cada $a,b$ números enteros con $b\neq 0$ consideramos el subconjunto de $\mathbb{Z}:$ $$a+b\;\mathbb{Z}=\{\;\ldots\;,\;a-2b\;,\;a-b\;,\;a\;,\;a+b\;,\;a+2b\;,\;\ldots\;\},$$ y la clase $\mathcal{B}$ de subconjuntos de $\mathbb{Z}$ : $\mathcal{B}=\{\;a+b\;\mathbb{Z}\;:\;a,b\in \mathbb{Z}\;,b\neq 0\;\}$ , es decir $\mathcal{B}$ es la clase de todas las progresiones aritméticas no constantes en $\mathbb{Z}$ . Dado que $a+b\;\mathbb{Z}=a-b\;\mathbb{Z}$ también podemos suponer que $b>0$ . Veamos que $\mathcal{B}$ cumple las dos conocidas condiciones para formar base de una topología en $\mathbb{Z}$ .

$(i)$ Como $0+1\;\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$ se verifica trivialmente que $\mathbb{Z}$ es unión de elementos de $\mathcal{B}$ .

$(ii)$ Sean $a+b\;\mathbb{Z}$ y $a’+b’\;\mathbb{Z}$ elementos de $\mathcal{B}$ y $c\in (a+b\;\mathbb{Z})\cap (a’+b’\;\mathbb{Z})$ , entonces $a+b\;\mathbb{Z}=c+b\;\mathbb{Z}$ y $a’+b’\;\mathbb{Z}=c+b’\;\mathbb{Z}$ . Si $d$ es el mínimo común múltiplo de $b$ y $b’$ es claro que $c\in c+d\;\mathbb{Z}\subset (c+b\;\mathbb{Z})\cap (c+b’\;\mathbb{Z})$ . Concluimos pues que $\mathcal{B}$ es base para una topología $\mathcal{T}$ en $\mathbb{Z}$ .

Para cada primo $p$ el subconjunto de $\mathbb{Z},$ $$F_p=\mathbb{Z}-(\;(1+p\;\mathbb{Z})\cup(2+p\;\mathbb{Z})\cup\ldots\cup((p-1)+p\;\mathbb{Z})\;)$$ es cerrado pues es el complementario de una unión de abiertos (que es abierto). Sea ahora $F=\bigcup_{p}{F_p }$ en donde $p$ varía en el conjunto de los números primos. Si solamente existiera un número finito de primos, entonces $F$ sería unión finita de cerrados y por tanto, cerrado. Dado que $F_p=p\;\mathbb{Z}$ todo entero $k\neq \pm 1$ pertenece a algún $F_p$ , es decir $\mathbb{Z}-F=\{-1,1\}$ . Pero claramente $\{-1,1\}$ no es abierto por no ser unión de progresiones aritméticas no constantes y por tanto $F$ no es cerrado.

Por tanto, de la hipótesis de existir solamente un número finito de primos llegamos al absurdo de que existe un conjunto $F$ en una topología $\mathcal{T}$ que es a la vez cerrado y no cerrado. Se concluye pues que existen infinitos números primos.