Teorema de los valores intermedios para funciones continuas

Teorema (de los valores intermedios para funciones continuas). Sea $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ una función continua. Sean $x_1,x_2$ dos puntos de $[a,b]$ tales que $x_1<x_2$ y $f(x_1)\neq f(x_2)$. Entonces, la función $f$ toma todos los valores comprendidos entre $f(x_1)$ y $f(x_2)$ al menos una vez en el intervalo $(x_1,x_2).$

Ejemplos
1. Demostrar que la función $f(x)=x^3+x^2-3x+2$ toma el valor $\pi$ en el intervalo $(1,2)$.

Solución. La función $f$ es continua en $[1,2]$. Además $f(1)=1+1-3+2=1$ y $f(2)=8+4-6+2=8$. Dado que $1<\pi<8$, por el teorema de los valores intermedios para funciones continuas, existe $c\in (1,2)$ tal que $f(c)=\pi$

2. Usando el teorema de Bolzano, demostrar el teorema de los valores intermedios para funciones continuas:
Sea $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ uuna función continua. Sean $x_1,x_2$ dos puntos de $[a,b]$ tales que $x_1<x_2$ y $f(x_1)\neq f(x_2)$. Entonces, la función $f$ toma todos los valores comprendidos entre $f(x_1)$ y $f(x_2)$ al menos una vez en el intervalo $(x_1,x_2).$

Solución. Supongamos $f(x_1)<f(x_2)$ y sea $k$ un número real tal que $f(x_1)<k<f(x_2)$. Definimos la función: $$f:[x_1,x_2]\to \mathbb{R}\;,\quad g(x)=f(x)-k.$$ La función $g$ es continua en $[x_1,x_2]$. Además: $$g(x_1)=f(x_1)-k<0\;,\quad g(x_2)=f(x_2)-k>0.$$ Aplicando el teorema de Bolzano a $g$, deducimos que existe $c\in(x_1,x_2)$ tal que $g(c)=f(c)-k=0$ o de forma equivalente, $g(c)=k$ para algún $c\in (x_1,x_2)$. Si $f(x_1)<f(x_2)$, se razona de manera análoga.