Aplicaciones geométricas de la derivada

Proporcionamos ejercicios sobre aplicaciones geométricas de la derivada.

RESUMEN TEÓRICO
  • 1) Ecuación de la recta tangente.  Si una curva está definida por la ecuación $y=f(x),$ entonces $f'(x_0)$ representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de la misma $\left(x_0,f(x_0)\right).$ La ecuación de la recta tangente en tal punto es: $$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$
  • 2) Ecuación de la recta normal.  La recta normal a una curva $y=f(x)$ en el punto de la misma $\left(x_0,f(x_0)\right)$ es la perpendicular a la tangente que pasa por dicho punto. Su ecuación es: $$y-f(x_0)=-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0).$$ Si $f'(x_0)=0$  la recta tangente es $y=f(x_0)$ y la normal $x=x_0.$
  • 3) Ángulo de dos curvas.  Se denomina ángulo entre dos curvas $y=f(x)$ e $y=g(x)$ en un punto de intersección $P_0(x_0,y_0),$ al ángulo $\alpha$ que forman las rectas tangente a estas curvas en el punto $P_0.$ Se verifica: $$\operatorname{tg}\alpha=\left|\dfrac{f'(x_0)-g'(x_0)}{1+f'(x_0)g'(x_0)}\right|.$$
  • Ejemplo 1.  Hallar la ecuación de la rectas tangente y normal a la curva $y=\sqrt{x}$ en el punto de abscisa $x=9.$
    Solución. Tenemos $y’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ y por tanto $y'(9)=\dfrac{1}{2\sqrt{9}}=\dfrac{1}{6}.$ Por otra parte, $y(9)=\sqrt{9}=3.$ La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto $(9,3)$ es: $$y-3=\dfrac{1}{6}(x-9), \text{ o bien }x-6y+9=0.$$ La ecuación de la recta normal en $(9,3)$ es $y-3=-6(x-9), \text{ o bien }6x+y+51=0.$
  • Ejemplo 2.  Hallar los ángulos que forman las curvas determinadas por $f(x)=2x^2,$ $g(x)=x^3$ en sus puntos de corte.
    Solución. Hallemos los puntos de corte: $$2x^2=x^3\Leftrightarrow x^3-2x^2=0\Leftrightarrow x^2(x-2)=0\Leftrightarrow x=0\vee x=2.$$ Las derivadas son $f'(x)=4x$ y $g'(x)=3x^2$, con lo cual $f'(0)=g'(0)=0,$ $f'(2)=8$ y $g'(2)=12.$ El ángulo $\alpha$ que forman las curvas en el punto de abscisa $x=0$ es: $$\alpha=\arctan \left|\dfrac{0-0}{1+0\cdot 0}\right|=\arctan 0=0$$ (es decir, las curvas son tangentes). El ángulo $\beta$ que forman las curvas en el punto de abscisa $x=2$ es: $$\beta=\arctan \left|\dfrac{8-12}{1+8\cdot 12}\right| =\arctan \dfrac{4}{97}\approx 2.36º.$$
    Enunciado
  1. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva $y=x^3-x^2+2x+3$ en el punto de abscisa $x=0.$
  2. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva $y=\cos x$ en el punto de abscisa $x=\pi.$
  3. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la catenaria $y=\cosh (x/2),$ en el punto de abscisa $x=2\log 2.$
  4. Calcular el ángulo que forman las curvas $y=f(x)$ e $y=g(x),$ siendo $f(x)=x^3$, $g(x)=1/x^2.$
    Solución
  1. Tenemos $y(1)=5.$ Derivando, $y’=3x^2-2x+2$ con lo cual $y'(1)=3.$ La ecuación de la recta tangente es por tanto $y-5=3(x-1),$ o bien $3x-y+2=0.$ La ecuación de la recta normal es $y-5=(-1/3)(x-1),$ o bien $x+3y-16=0.$
  2. Tenemos $y(\pi)=-1.$ Derivando, $y’=\operatorname{sen}x$ con lo cual $y'(\pi)=0.$ La ecuación de la recta tangente es por tanto $y=-1,$ y la de la normal $x=\pi.$
  3. Tenemos $$y(2\log 2)=\dfrac{e^{\log 2}+e^{-\log 2}}{2}=\dfrac{2+\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{5}{4}.$$ Derivando, $y’=(1/2)\operatorname{senh}(x/2),$ con lo cual $$y'(2\log 2)=\dfrac{1}{2}\dfrac{e^{\log 2}-e^{-\log 2}}{2}=\dfrac{2-\dfrac{1}{2}}{4}=\dfrac{3}{8}.$$ La ecuación de la recta tangente es por tanto $$y-\dfrac{5}{4}=\dfrac{3}{8}(x-2\log 2),\text{ o bien }3x-8y+10-6\log 2=0.$$ La ecuación de la recta normal es $$y-\dfrac{5}{4}=-\dfrac{8}{3}(x-2\log 2),\text{ o bien }32x-12y-15-64\log 2=0.$$
  4. Hallemos los puntos de corte. Para $x\neq 0:$ $$x^3=\dfrac{1}{x^2}\Leftrightarrow x^5=1\Leftrightarrow x=1.$$ Las derivadas son $f'(x)=3x^2$ y $g'(x)=-2/x^3$, con lo cual $f'(1)=3$ y $g'(1)=-2.$ El ángulo $\alpha$ que forman las curvas en el punto de abscisa $x=1$ es por tanto: $$\alpha=\arctan \left|\dfrac{3+2}{1+3\cdot (-2)}\right|=\arctan 1=\dfrac{\pi}{4}.$$
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