Aplicaciones físicas de la derivada

Proporcionamos ejercicios de aplicaciones físicas de la derivada.

RESUMEN TEÓRICO
  • Si el movimiento rectilíneo de un punto sigue la ley $s=f(t)$ ($t$ tiempo, $s$ espacio), entonces la velocidad $v$ del movimiento en el instante de tiempo $t_0$ es la derivada del espacio respecto del tiempo, es decir $v=f’\left(t_0\right).$ La aceleración $a$ en el instante de tiempo $t_0$ es la derivada segunda del espacio respecto del tiempo, es decir $a=f^{\prime\prime}\left(t_0\right).$
  • Ejemplo.  La ley de movimiento de un punto sobre el eje $OX$ es $s=3t-t^3.$ Hallar la velocidad y la aceleración del movimiento de dicho punto para los instantes de tiempo $t_0=0$, $t_1=1$, $t_2=2$ ($s$ se da en centímetros y $t$ en segundos).
    Solución. Tenemos $s’=3-3t^2$ y $s^{\prime\prime}=-6t.$ Las velocidades y aceleraciones pedidas son por tanto: $$v(0)=s'(0)=3\text{ cm/s},\quad a(0)=s^{\prime\prime}(0)=0\text{ cm/}s^2,$$ $$v(1)=s'(1)=0\text{ cm/s},\quad a(1)=s^{\prime\prime}(1)=-6\text{ cm/}s^2,$$ $$v(2)=s'(2)=-9\text{ cm/s},\quad a(2)=s^{\prime\prime}(2)=-12\text{ cm/}s^2.$$
    Enunciado
  1. El espacio $s$ recorrido en función del tiempo $t$ está definido por la ecuación $s=t\log (t+1)$ ($t$ es segundos y $s$ en metros). Hallar la velocidad del movimiento cuando han transcurrido dos segundos.
  2. Por el eje $OX$ se mueven dos puntos que tienen respectivamente las leyes de movimiento $$x=100+5t,\quad x=\dfrac{1}{2}t^2,$$ donde $t\geq 0.$ ¿ Con qué velocidad se alejaran estos puntos, el uno del otro, en el momento de su encuentro ($x$ se da en centímetros y $t$ en segundos)?
  3. Un punto se mueve sobre la hipérbola $y=\dfrac{10}{x}$ de tal manera, que su abscisa $x$ aumenta uniformemente con la velocidad de una unidad por segundo. ¿ Con qué velocidad variará su ordenada cuando el punto pase por la posición $(5,2)$?
    Solución
  1. Derivando: $s’=\log (t+1)+\dfrac{t}{t+1}.$ La velocidad en $t=2\text{s}$ es: $$s'(2)=\log 3+\dfrac{2}{3}\approx 1.76\text{ m/s}.$$
  2. En el momento de su encuentro, coinciden los espacios: $$\dfrac{1}{2}t^2=100+5t\Leftrightarrow t^2-10t-200=0,$$ $$t=\dfrac{10\pm\sqrt{900}}{2}=\dfrac{10\pm 30}{2}=\{20,-10\}.$$ Por hipótesis, $t\geq 0$ y por tanto los móviles se encuentran en el instante $t=20$. Las funciones velocidades son $x’=5$ para el primer móvil y $x’=t$ para el segundo, y para $t=2,$ $x'(2)=5$ y $x'(2)=20.$ Los móviles se alejan el uno del otro con una velocidad de $20-5=15$ (cm/s).
  3. Que la velocidad de la abscisa $x$ sea constante e igual a $1$ significa que $x=t$ ($t$ tiempo). La ley de movimiento de la ordenada es por tanto $y=\dfrac{10}{t}$ y su velocidad, $y’=-\dfrac{10}{t^2}$. Entonces, $y'(5)=-\dfrac{10}{24}=-0.4,$ es decir decrece con una velocidad de $0.4.$
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