Funciones armónicas

Publicada el marzo 31, 2014 por Fernando Revilla
RESUMEN TEÓRICO
  • Definición. Sea $A\subset\mathbb{R}^2$ abierto y $f:A\to \mathbb{R}$ una función. Se dice que $f$ es armónica en $A,$ si $f\in\mathcal{C}^2(A)$ y $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0\text{ en }A.$$ Nota. A la igualdad anterior se la llama ecuación de Laplace, y se la representa por $\nabla^2f=0.$
  • Teorema. Sea $A\subset\mathbb{C}$ abierto y $f:A\to \mathbb{C}$ analítica. Entonces, las funciones partes real e imaginaria de $f$ son funciones armónicas en $A.$
  • Nota. Por supuesto, identificamos de forma natural $A\subset \mathbb{C}$ con $A\subset \mathbb{R}^2.$
    Enunciado
  1. Analizar si son armónicas las funciones: $$a)\;f(x,y)=2e^x\cos y.\quad b)\;g(x,y)=\arctan \dfrac{y}{x}.$$
  2. Analizar si son armónicas las funciones: $$a)\;f(x,y)=\log (x^2+y^2).\quad b)\;g(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2.$$
  3. Sea $A\subset\mathbb{C}$ abierto y $f:A\to \mathbb{C}$ analítica. Demostrar que las funciones partes real e imaginaria de $f$ son funciones armónicas en $A.$
    Solución
  1. $a)$ Tenemos: $$\frac{\partial f}{\partial x}=2e^x\cos y,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=-2e^x\operatorname{sen} y,$$ $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2e^x\cos y,\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-2e^x\cos y,$$ lo cual implica que $\nabla^2f=0$ en todo $\mathbb{R}^2,$ y además es claro $f\in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2).$ Concluimos que $f$ es armónica en $\mathbb{R}^2.$
    $b)$ En el abierto $A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\neq 0\}:$ $$\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{1}{1+y^2/x^2}\cdot \frac{-y}{x^2}=-\frac{y}{x^2+y^2},$$ $$\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{1}{1+y^2/x^2}\cdot \frac{1}{x}=\frac{x}{x^2+y^2},$$ $$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}=-\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2},\quad \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=\frac{-2yx}{(x^2+y^2)^2},$$ lo cual implica que $\nabla^2g=0$ en $A,$ y además es claro $g\in \mathcal{C}^2(A).$ Concluimos que $g$ es armónica en $A.$
  2. $a)$ En el abierto $A=\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$ $$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x}{x^2+y^2},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2y}{x^2+y^2},$$ $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{2(x^2+y^2)-4x^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{-2x^2+2y^2}{(x^2+y^2)^2},$$ $$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{2(x^2+y^2)-4y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{2x^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2},$$ lo cual implica que $\nabla^2f=0$ en $A,$ y además es claro $f\in \mathcal{C}^2(A).$ Concluimos que $f$ es armónica en $A.$
    $b)$ En el abierto $A=\mathbb{R}^2:$ $$\frac{\partial g}{\partial x}=2ax+2by,\quad \frac{\partial g}{\partial y}=2bx+2cy,$$ $$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}=2a,\quad\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=2c,$$ lo cual implica que $\nabla^2g=0\Leftrightarrow a+c=0.$ Además es claro $g\in \mathcal{C}^2(A).$ Concluimos que $g$ es armónica en $A,$ si y sólo si $a+c=0.$
  3. Si $f$ es analítica en $A,$ sabemos que las funciones partes real e imaginaria $u$ y $v$ de $f$ son funciones de clase infinito en $A,$ y por tanto de clase 2. En $A,$ se verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann: $$\left \{ \begin{matrix} u_x=v_y& \\u_y=-v_x.\end{matrix}\right.$$ Derivando y usando el teorema de Schwartz de las derivadas cruzadas, $$u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}=0,$$ $$v_{xx}+v_{yy}=-u_{yx}+u_{xy}=0,$$ lo cual implica que $u$ y $v$ son armónicas en $A.$
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