Centro de gravedad de una esfera

Enunciado
En una esfera maciza de radio $a$, existe una distribución de masa cuya densidad en cada punto es proporcional a la distancia de dicho punto a uno fijo de la superficie de la esfera. Se pide determinar la posición del centro de gravedad de este sólido.

 (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
Consideremos la esfera con centro el punto $(0,0,a)$ y como punto fijo el origen. Llamemos $(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$ a las coordenadas del centro de gravedad. La densidad en cada punto $P(x,y,z)$ es $\delta (x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ y la masa del sólido:

$M=\displaystyle\iiint_Tk\delta (x,y,z)\;dxdydz\;,\quad T\equiv x^2+y^2+(z-a)^2\leq a^2.$

El centro de gravedad es $G=(\bar{x},\bar{y},\bar{z})=(1/M)\left(M_{yz},M_{xz},M_{xy}\right)$ siendo $M_{yz}$, $M_{xz}$ y $M_{xy}$ los correspondientes momentos estáticos. Por razones de simetría es claro que $\bar{x}=\bar{y}=0$. Hallemos la masa $M$ usando las coordenadas esféricas:

$\left \{ \begin{matrix}x=\rho \cos \alpha \sin\beta\\y=\rho \sin \alpha \sin\beta\\z=\rho \cos\beta.\end{matrix}\right. \qquad (1)
$

La ecuación de la superficie esférica es $x^2+y^2+(z-a)^2= a^2$ o de forma equivalente $x^2+y^2+z^2-2az=0$. En la esfera, $\alpha$ varía entre $0$ y $2\pi$ y $\beta$ entre $0$ y $\pi/2$. Sustituyendo (1) en la ecuación de la superficie esférica:

$\rho^2-2a\rho \cos\beta=0 \Leftrightarrow \rho(\rho-2a\cos\beta)=0 \Leftrightarrow \rho=0\;\vee\;\rho=2a\cos\beta.$

Por tanto, la masa $M$ es

$\displaystyle\begin{aligned}
M&=\displaystyle\iiint_Tk\sqrt{x^2+y^2+z^2}\;dxdydz\\
&=\displaystyle\int_0^{2\pi}d\alpha \int_0^{\pi/2}d\beta\int_0^{2a\cos \beta}k\rho^3\sin\beta\; d\rho\\
&=k\displaystyle\int_0^{2\pi}d\alpha\int_0^{\pi/2}d\beta\left[\frac{\rho^4}{4}\sin\beta\right]_0^{2a\cos \beta}\\
&=2k\pi\int_0^{\pi/2}4a^4\cos^4\beta\sin\beta\; d\beta\\
&=8k\pi a^4\left[-\dfrac{\cos^5\beta}{5}\right]_0^{\pi/2}\\
&=\dfrac{8k\pi a^4}{5}.
\end{aligned}$

El momento estático $M_{xy}$ es

$\displaystyle\begin{aligned}
M_{xy}&=\displaystyle\iiint_Tkx\sqrt{x^2+y^2+z^2}\;dxdydz\\
&=\displaystyle\int_0^{2\pi}d\alpha \int_0^{\pi/2}d\beta\int_0^{2a\cos \beta}k\rho^4\sin\beta\cos \beta\; d\rho\\
&=k\displaystyle\int_0^{2\pi}d\alpha\int_0^{\pi/2}d\beta\left[\frac{\rho^5}{5}\sin\beta\cos\beta\right]_0^{2a\cos \beta}\\
&=\dfrac{2k\pi}{5}\int_0^{\pi/2}32a^5\cos^6\beta\sin\beta\; d\beta\\
&=\dfrac{64k\pi a^5}{5}\left[-\dfrac{\cos^7\beta}{7}\right]_0^{\pi/2}\\
&=\dfrac{64k\pi a^5}{35}.
\end{aligned}$

En consecuencia $\bar{z}=M_{xy}/M=8a/7$ y el centro de gravedad pedido es

$G=\left(0,0,\dfrac{8a}{7}\right).$