Diferencial de una función

Proporcionamos ejercicios sobre la diferencial de una función.

RESUMEN TEÓRICO
  • Definición.  Sea $y=f(x)$ una función derivable en un punto $x.$ Se llama diferencial de $f$ en $x$ }a la aplicación: $$Df(x):\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad Df(x)(h)=f'(x)h.$$ Escribimos abreviadamente $dy$ en lugar de $Df(x)(h),$ y al valor $h$ lo denotamos por $dx,$ con lo cual la diferencial de la función $y$ se puede escribir en la forma: $$dy=f'(x)dx.$$
  • Ejemplo 1.  Dada $y=x^2,$ calcular: $(a)$ $dy$ para $x=3$ y $dx=0.1.$ $(b)$ $dy$ para $x=3$ y $dx=0.01.$
    Solución. $(a)$ Tenemos $dy=2xdx.$ Para $x=3$ y $dx=0.1,$ obtenemos $dy=2\cdot 3\cdot 0.1=0.6.$ $(b)$ En este caso, $dy=2\cdot \cdot 3\cdot 0.01=0.06.$
  • Ejemplo 2Dada $y=\operatorname{sen}x,$ calcular $dy$ para $x=\pi/3$ y $dx=-5.$
    Solución. Tenemos $dy=(\cos x)dx.$ Para $x=\pi/3$ y $dx=-5,$ obtenemos $dy=(\cos \pi/3)(-5)=-5/2.$
  • Ejemplo 3.  Calcular $dy$ siendo $y=\sqrt{x}.$
    Solución. Tenemos $dy=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}dx=\dfrac{dx}{2\sqrt{x}}.$
  • Teorema   (Aproximación de incrementos por diferenciales).  Sea $y=f(x)$ una función derivable en $x.$ Denominemos $\Delta y=f(x+h)-f(x),$ es decir $\Delta y$ es el incremento de la función cuando pasamos de $x$ a $x+h.$ Sea $dy=f'(x)h.$ Entonces, $$\lim_{h\to 0}\frac{\left|\Delta y-dy\right|}{|h|}=0.\qquad (1)$$ La interpretación de $(1)$ es clara. Cuando $h\to 0$ (es decir, cuando $dx\to 0$) el valor de $|h|$ se hace «pequeño'».  Como el cociente $\left|\Delta y-dy\right|/|h|$ tiende a $0,$ la diferencia $\left|\Delta y-dy\right|$ es todavía  «más pequeña'»que $|h|,$ y por tanto incremento y diferencial son aproximadamente iguales para valores de $h=dx$  «pequeños'».
  • Ejemplo 4.  Dada la función $f(x)=x^2,$ hallar $\Delta y$ y $dy$ para $x$ y $dx$ genéricos. Particularizar para $x=4$ y en los casos $dx=0.1$ y $dx=0.01.$
    Solución. Para $x$ y $dx$ genéricos:  $$\Delta y=f(x+dx)-f(x)=(x+dx)^2-x^2=2xdx+d^2x.\\dy=f'(x)dx=2xdx.$$ Si $x=4$ y $dx=0.1$, entonces $$\Delta y=2\cdot 2\cdot 0.1+0.1^2=0.41,\quad dy=2\cdot 2\cdot 0.1=0.4.$$ Si $x=4$ y $dx=0.01$, entonces
    $$\Delta y=2\cdot 2\cdot 0.01+0.01^2=0.041,\; dy=2\cdot 2\cdot 0.1=0.04.$$

    Enunciado
  1. Hallar la diferencial de la función $y=\sqrt[3]{x}+\cos x.$
  2. Hallar la diferencial y el incremento de la función $y=x^3$ para $x$ y $dx$ genéricos.
  3. Usando diferenciales, determinar aproximadamente en cuanto aumentará esl área de un cuadrado cuando su lado aumenta de $4$ cm a $4.1$ cm.
  4. Usando diferenciales, hallar aproximadamente $\sqrt{3.98}.$
  5. Sea $y=f(x)$ una función derivable en $x.$ Demostrar que $$\displaystyle\lim_{dx\to 0}\frac{\left|\Delta y-dy\right|}{\left|dx\right|}=0.$$
  6. Usando diferenciales, calcular el valor aproximado del área de un círculo cuyo radio es igual a $3.02$ cm.
  7. Deducir la fórmula aproximada $\sqrt[3]{x+dx}\approx \sqrt[3]{x}+\dfrac{dx}{3\sqrt[3]{x^2}},$ y calcular aproximadamente $\sqrt[3]{10}.$
    Solución
  1. $\quad dy=f'(x)dx=\left(\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}-\operatorname{sen}x\right)dx.$
  2. $\quad dy=f'(x)dx=3x^2dx.$
    $$\Delta y=f(x+dx)-f(x)=(x+dx)^3-x^3=x^3+3x^2dx+3xd^2x+d^3x-x^3$$$$
    =3x^2dx+3xd^2x+d^3x.$$
  3. El área se un cuadrado de lado $x$ es $A=x^2.$ Entonces, $\Delta A\approx dA=2xdx.$ Para $x=4$ y $dx=0.1:$ $\Delta A\approx dA=2\cdot4\cdot 0.1 =0.8\text{ cm}^2.$
  4. Sea $y=\sqrt{x}.$ Su diferencial es $dy=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ Si $x=4$ y $dx=-0.02,$ entonces, $$\Delta y=\sqrt{4+(-0.02)}-\sqrt{4}=\sqrt{3.98}-2.$$ Obtenemos: $\sqrt{3.98}=2+\Delta y\approx 2+\dfrac{1}{2\sqrt{4}}(-0.02)=2-0.005=1.995.$
  5. Tenemos las implicaciones: $$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\Rightarrow \displaystyle\lim_{h\to 0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'(x)\right)=0$$ $$\Rightarrow \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)-f'(x)h}{h}=0$$ $$\Rightarrow \displaystyle\lim_{h\to 0}\left |\frac{f(x+h)-f(x)-f'(x)h}{h}\right|=0\Rightarrow\displaystyle\lim_{dx\to 0}\frac{\left|\Delta y-dy\right|}{\left|dx\right|}=0.$$
  6. Usando la fórmula del área de un círculo $A=\pi r^2$ y haciendo $r=3,$ $dr=0.02:$ $\Delta A\approx dA=2\pi r dr=2\pi\cdot 3\cdot 0.02=0.12\pi.$
  7. Sea $y=\sqrt[3]{x},$ entonces: $$\Delta y=\sqrt[3]{x+dx}-\sqrt[3]{x},\quad dy=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}dx.$$ Por tanto, $\Delta y\approx dy$ equivale a: $$\sqrt[3]{x+dx}\approx \sqrt[3]{x}+\dfrac{dx}{3\sqrt[3]{x^2}}.\qquad (1)$$ Eligiendo $x=8,$ $dx=2$ y usando $(1):$ $$\sqrt[3]{10}\approx \sqrt[3]{8}+\dfrac{2}{3\sqrt[3]{8^2}}=2+\dfrac{1}{6}=\dfrac{13}{6}.$$
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