Funciones convexas y formas cuadráticas

Relacionamos funciones convexas y formas cuadrática.

Enunciado
Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita. Se dice que una función real $f:V\rightarrow \mathbb{R}$ es convexa cuando $f(\alpha x+\beta y)\leq \alpha f(x)+\beta f(y)$ $\forall x,y\in V$ y $\forall \alpha,\beta \in \mathbb{R}$ con $\alpha,\beta \geq 0,\;\alpha +\beta=1$.
1. Desde luego las formas lineales o funcionales $f:V\rightarrow \mathbb{R}$ son funciones convexas como fácilmente se puede comprobar, pero existen funciones convexas que no son lineales. Demostrar que la función $f(x)=x^2$ de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ es convexa y no lineal.
2. Sea $f:V\rightarrow \mathbb{R}$ una forma cuadrática. Demostrar que si $f$ es positiva (es decir $f(x)\geq 0$ para todo $x$ de $V$ ) entonces $f$ es convexa.
3. Enunciar la propiedad recíproca de la anterior y estudiar su validez (en caso afirmativo dar una demostración y en caso contrario construir un contraejemplo). En todo caso dar una caracterización de las formas cuadráticas que son funciones convexas.

   (Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
1. Elijamos el escalar $\lambda=2$ y el vector $x=1$. Entonces $f(\lambda x)=f(2)=4$ y $\lambda f(1)=2\cdot 1=2$, es decir $f(\lambda x)\neq \lambda f(x)$ para algún $\lambda$ y $x$ y por tanto la función $f(x)=x^2$ no es lineal. Veamos que es convexa. Claramente una función $f$ es convexa sí y sólo si:

   $f(\alpha x+(1-\alpha )y)\leq \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)\quad \forall{x,y}\in{V},\; \forall{\alpha }\in{[0,1]}.
   $

   Para $f(x)=x^2$ tenemos:

   $$(\alpha x+(1-\alpha )y)^2\leq \alpha x^2+(1-\alpha)y^2 \Leftrightarrow$$$$
   \alpha^2x^2+2\alpha (1-\alpha)xy+(1-\alpha)^2y^2-\alpha x^2-(1-\alpha)y^2\leq 0\Leftrightarrow$$$$(\alpha^2-\alpha)x^2+(\alpha^2-\alpha)y^2+ 2(\alpha^2-\alpha)xy\leq 0\Leftrightarrow$$$$(\alpha^2-\alpha)(x+y)^2\leq 0.$$

   La última desigualdad se verifica pues $\alpha^2-\alpha \leq 0$ para todo $\alpha$ en $[0,1]$. Hemos demostrado por tanto que la función $f(x)=x^2$ es convexa pero no lineal.

2. Por hipótesis $\dim V=n$ finita y $f(x)\geq 0$ para todo $x$ de $V$. Por un conocido teorema, existe una base $B=\{u_1,\ldots,u_n\}$ de $V$ respecto de la cual la expresión de $f$ es: $$f(x)=x_1^2+\ldots+x_r^2\;,\quad (r\leq n\;,\;x=x_1u_1+\ldots+x_nu_n).$$

   Sean $ x=x_1u_1+\ldots+x_nu_n,\;y=y_1u_1+\ldots+y_nu_n$ elementos cualesquiera de $V$ y $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ tales que $\alpha\geq 0,\beta \geq 0$ y $\alpha+\beta=1$. Usando el apartado anterior:

   $$f(\alpha x+ \beta y)=\displaystyle\sum_{i=1}^r{(\alpha x_i+ \beta y_i )^2}\leq \displaystyle\sum_{i=1}^r{(\alpha x_i^2+ \beta y_i^2 )}=$$$$\alpha \displaystyle\sum_{i=1}^r{x_i^2}+\beta \displaystyle\sum_{i=1}^r{y_i^2}=\alpha f(x)+ \beta f(y).$$

   Es decir, toda forma cuadrática positiva es una función convexa.

3. La proposición recíproca de la anterior es:

   «Sea $f:V\rightarrow \mathbb{R} $ una forma cuadráticca. Si $f$ es convexa, entonces es positiva».

   Veamos que es cierta. En efecto, supongamos que la forma cuadrática $f$ no fuera positiva. Existiría entonces una base en $V$ respecto de la cual la expresión de $f$ es $f(x)=d_1x_1^2+\ldots+d_rx_r^2\;(r\leq n)$ en donde algún $d_i<0$. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $d_1<0$. Elijamos los escalares $\alpha=2/3$ $\beta=1/3$ y los vectores $x,y\in V$ cuyas coordenadas en la base elegida son $(1,0,\ldots,0)$ y $(-1,0,\ldots,0)$ respectivamente. Entonces:

   $f(\alpha x+ \beta y)=d_1/9>d_1=\alpha f(x)+\beta f(y),$

   siendo $\alpha\geq 0,\beta\geq 0$ y $\alpha+\beta=1$. Es decir, $f$ no sería convexa. Podemos pues concluir que una forma cuadrática $f:V\rightarrow \mathbb{R}$ con $V$ de dimensión finita es convexa sí, y sólo si es positiva.