Diámetro de un subconjunto de R

Estudiamos algunas propiedades del diámetro de un subconjunto de $\mathbb{R}.$

Enunciado
Dado un subconjunto acotado $A\subset \mathbb{R}$, se define el diámetro del conjunto $A$ como

$d(A)=\sup \{|x-y|\;:\;x,y\in\mathbb{R}\}.$

Considérese una función derivable $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que existe $M>0$ con $|f'(x)|\leq M$ para todo $x\in\mathbb{R}.$

(a) Dado $r>0$ compruébese que si $A$ es tal que $d(A)\leq \dfrac{r}{M}$ entonces $d((f(A))\leq r.$
(b) Sea $S\subset \mathbb{R}$ acotado y supongamos que $M<1.$ Calcular $\displaystyle\lim_{n\to \infty}d\left(f^n(S)\right)$ en donde $f^n(A)=\{(f\circ f\circ \ldots \circ f)(x)\;:\;x\in A\}.$

(Propuesto en examen, Cálculo, ETS, Ing. de Montes, UPM).

Solución
(a) Sean $x,y\in A$ con $x<y$. Como $f$ es derivable en $\mathbb{R}$, podemos aplicar el Teorema del valor medio de Lagrange a la función $f$ en el intervalo $[x,y],$ es decir existe $\xi\in (x,y)$ tal que $f'(\xi)=\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x},$ por tanto

$\left | \dfrac{f(y)-f(x)}{y-x} \right |=|f'(\xi)|\Rightarrow \left | f(y)-f(x) \right |=|f'(\xi)||y-x|\leq M\cdot \dfrac{r}{M}=r.$

Es decir, $r$ es cota superior del conjunto $\{|f(y)-f(x)\;:\;x,y\in A|\}.$ Como el supremo de un conjunto es la menor de las cotas superiores del conjunto, se concluye que

$d\left(f(A)\right)=\sup \{|f(y)-f(x)\;:\;x,y\in A|\}\leq r.$

(b) Tenemos $d\left(f^n(S)\right)=\sup \{|f^n(x)-f(y)|\}$. Por otra parte

$(f^2)'(x)=f'[f(x)]f'(x)\Rightarrow |(f^2)'(x)|=|f'[f(x)]||f'(x)|<M\cdot M=M^2.$

Aplicando el método de inducción es inmediato comprobar que $|(f^n)'(x)|<M^n.$ Además, la función $f^n$ es derivable en $\mathbb{R}$ (composición de derivables en $\mathbb{R}$) con lo cual podemos aplicar de nuevo el teorema del valor medio de Lagrange a la función $f^n$ en el intervalo $[x,y]$ con $x<y$ elementos de $S:$

$\exists \xi\in (x,y)\;:\;\dfrac{f^n(y)-f^n(x)}{y-x}=(f^n)'(\xi).$

Como $S$ está acotado, tiene supremo y por tanto existe $d(S)$. Entonces:

$|f^n(y)-f^n(x)|=(f^n)'(\xi)|y-x|<M^n|y-x|\leq M^nd(S).$

Es decir, $M^nd(S)$ es una cota superior $\{|f^n(y)-f^n(x)|:x,y\in S\}$. En consecuencia $0\leq d\left(f^n(S)\right)=\sup \{|f^n(y)-f^n(x)|:x,y\in S\}\leq M^nd(S)$. Teniendo en cuenta que $M<1$ y tomando límites obtenemos $0\leq \lim_{n\to\infty}d\left(f^n(S)\right)\leq 0\;.$ Por tanto, el límite pedido es igual a $0.$