Matriz de Markov

Definimos el concepto de matriz de Markov y analizamos alguna de sus propiedades.

Enunciado
Un vector $X=(x_1,\ldots,x_n)^t$ de $\mathbb{R}^n$ es un vector probabilístico cuando sus componentes son mayores o iguales que cero y suman uno, es decir $x_i\geq 0$ y $\sum_{i=1}^{n}x_i=1$. Una matriz cuadrada $n\times n$ es una matriz de Markov cuando sus columnas son vectores probabilísticos. Se pide:
1. Demostrar que una matriz cuadrada ($n\times n$) $A$ es de Markov cuando y sólo cuando para cualquier vector probabilístico (de $\mathbb{R}^n$) $X$ el vector $AX$ es también probabilístico.
2. Si $A$ y $B$ son matrices de Markov ($n\times n$) ¿Es $A+B$ de Markov? Es $AB$ de Markov? Dar las demostraciones o construir contraejemplos.

   (Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. de Montes, UPM).

Solución
1. Consideremos las matrices: $A=\begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots&&\vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\end{bmatrix}\;,\;\;X=\begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\{x_n}\end{bmatrix}\;.$

   Supongamos que $A$ es matriz de Markov y que $X$ es vector probabilístico. Entonces

   $AX=\begin{bmatrix}a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n\\ \vdots\\a_{n1}x_1+\ldots+a_{nn}x_n\end{bmatrix}\;.$

   Por ser $A$ de Markov, $a_{ij}\geq 0$ para todo $i,j$ y por ser $X$ probabilístico, $x_i\geq 0$ para todo $i$. Esto implica que todas las componentes de $AX$ son mayores o iguales que cero. Por otra parte, teniendo en cuenta que la suma de las componentes de cada columna de $A$ es $1$ y que la suma de las componentes de $X$ también es $1$ obtenemos que la suma de todas las componentes de $AX$ es

   $(a_{11}+\ldots+a_{n1})x_1+\ldots+(a_{1n}+\ldots +a_{nn})x_n\\=1x_1+\ldots +1x_n=x_1+\ldots+x_n=1.$

   Es decir, $AX$ es vector probabilístico. Recíprocamente, supongamos que para todo vector probabilístico $X$ se verifica que $AX$ es probabilístico. Elijamos los vectores de la base canónica de $\mathbb{R}^n$

   $E_1=\begin{bmatrix}1\\ \vdots\\0\end{bmatrix}\;,\;\ldots,\;E_n=\begin{bmatrix}0\\ \vdots\\1\end{bmatrix}\;.$

   Claramente estos vectores son probabilísticos y por hipótesis también lo son

   $AE_1=\begin{bmatrix}a_{11}\\ \vdots\\a_{n1}\end{bmatrix}\;,\;\ldots,\;AE_n=\begin{bmatrix}a_{n1}\\ \vdots\\a_{nn}\end{bmatrix}\;.$

   Pero estos vectores son las columnas de $A$, lo cual implica que $A$ es matriz de Markov.

2. Consideremos las matrices $A=B=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}$ , claramente $A$ y $B$ son de Markov, sin embargo $A+B=\begin{bmatrix}{2}&{0}\\{0}&{2}\end{bmatrix}$ no es de Markov. El primer enunciado es falso.

   Sean ahora $A$ y $B$ matrices de Markov siendo $B_1,\ldots,B_n$ las columnas de $B$. Entonces $AB=A[B_1,\ldots,B_n]=[AB_1,\ldots,AB_n].$ Pero por lo demostrado en el apartado anterior, $AB_1,\ldots,AB_n$ son vectores probabilísticos lo cual implica que $AB$ es de Markov. El segundo enunciado es cierto.