Teorema de la función inversa en $\mathbb{R}^n$

Enunciamos el teorema de la función inversa en $\mathbb{R}^n$ y proporcionamos ejemplos de aplicación.

Enunciado
1. Para $0\leq x\leq \pi/2\;,\;0\leq y \leq \pi/2$ se considera la función
   $$f(x,y)=\left(\displaystyle\int_y^x\sin t\;dt\;,\int_{\pi/2}^{x+y}\cos\left( t-\frac{\pi}{2}\right)\;dt\right)$$ Calcular $(f^{-1})'(0,0)$.
2. Sea $(a_n)_0^{\infty}$ una sucesión de números reales tales que $a_n>0$ para cada $n=0,1,2,\ldots$. Supongamos que la serie de potencias $\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n$ tiene radio de convergencia $R>1$. Sea $D=\{{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:|x|<R,|y|<R }\}$ y definimos $f:D\rightarrow{\mathbb{R}^2}$ por:

   $f(x,y)=\left( y\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,x\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_ny^n\right).$

   (a) Demostrar que $f$ es de clase $1$ en todos los puntos de $D$.
   (b)Demuéstrese que $f$ es localmente invertible en el punto $(1,1)$ sí, y sólo si, la suma de la serie $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ es distinta de la suma de la serie $\sum_{n=1}^{\infty}na_n$.

Solución
1. Ver Invertibilidad local y teorema fundamental del Cálculo.
2. Ver Invertibilidad local con series de potencias.