Anillos: notaciones y propiedades

Demostramos algunas propiedades de los anillos y usamos las notaciones habituales $+$ y $\cdot$ para sus operaciones.

Enunciado
1. Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo y $a,b$ elementos de $A$. Desarrollar $(a+b)^2$. Simplificar las expresión resultante cuando $A$ sea conmutativo.
2. Sea $A$ un anillo. Demostrar que cualesquiera que sean $a,b,c\in A$ y llamando $[a,b]=ab-ba,$ se verifica:$$\left[a,[b,c]\right]+\left[b,[c,a]\right]+\left[c,[a,b]\right]=0.$$
3. Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo. Demostrar que:
   $1)$ $a0=0a=0,\quad\forall a\in A$.
   $2)$ $(-a)b=a(-b)=-(ab),\quad \forall a,b\in A $.
   $3)$ $(-a)(-b)=ab,\quad\forall a,b\in A .$

Solución
1. Usando la propiedad distributiva: $$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=(a+b)a+(a+b)b=a^2+ba+ab+b^2.$$ Si el anillo es conmutativo, $ab=ba$ y queda $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
2. Desarrollando cada uno de los términos: $$\begin{aligned}
   \left[a,[b,c]\right]&=a[b,c]-[b,c]a\\
   &=a(bc-cb)-(bc-cb)a\\
   &=abc-acb-bca+cba.\quad (1)
   \end{aligned}$$ $$\begin{aligned}
   \left[b,[c,a]\right]&=b[c,a]-[c,a]b\\
   &=b(ca-ac)-(ca-ac)b\\
   &=bca-bac-cab+acb.\quad (2)
   \end{aligned}$$ $$\begin{aligned}
   \left[c,[a,b]\right]&=c[a,b]-[a,b]c\\
   &=c(ab-ba)-(ab-ba)c\\
   &=cab-cba-abc+bac.\quad (3)
   \end{aligned}$$ Sumando las expresiones $(1),$ $(2)$ y $(3),$ y cancelando términos:
   $$\left[a,[b,c]\right]+\left[b,[c,a]\right]+\left[c,[a,b]\right]=0.$$
3. $1)$ Se verifica $aa=a(a+0)=aa+a0$, es decir $aa-aa=a0$ y de aquí, $a0=0$. Para la igualdad $0a=0$ se procede de manera análoga.
   $2)$ Se verifica $(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0$, es decir $(-a)b=-(ab).$ Para la igualdad $a(-b)=-(ab)$ se procede de manera análoga.
   $3)$ Usando la propiedad anterior y que el simétrico (opuesto en este caso) del simétrico de un elemento es el propio elemento: $$(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab.$$